iyi günler . kolay gelsin. dün bir soru ve ona verilen cevabı paylaşmıştım

dün bir soru payaşmıştım hani üzerine yorumlar yapılır tartışılır bir sonuca varılabilir mi diye. ama yayınlanmadı. Tabiki onu sadece siz değerli hocalarımızın cevablaması için yollamadım. meraklıların (benim gibi) üzerinde uğraşması tartışması düşünce alış verişinde bulunmasını sağlamak için yollamıştım. acaba o yazıda eksiklik yada yanlışlık mı vardı ? aklıma takıldı teşekkürler.. sayenizde yanlış bilgilerimizi düzeltelim.
o sorunun bir kısmı (anlatımı biraz bozuk olabilir..) aşağıdaki gibiydi

.......................
bir soru ve elimden geldiği ...ve biraz (ç)alıntı


Burada birinci soruya verilen cevap ilginçtir. pratikliği açısından bakmanızı öneririm.


big totient (kemal kemal)

A sayısı a,b,c sayıaları ile tam bölünebiliyor ve a,b,c sayıları aralarında asal ise,

x küçük eşit A ve x sayısı a ve/veya b ve/veya c ile tam bölüneMeyen pozitif tam sayıdır.
1) bu şartı sağlayan kaç tane x sayısı vardır?
2) bu şartı sağlayan sayıların toplamı?
3) bu şartı sağlayan sayıların kareleri toplamı?
4) bu şartı sağlayan sayıların küpleri toplamı?
.......vb.

Ben tabiki kolay olana balıklama atlayıp cevap vermeye kalkıştım;

1. soru için cevap:
herhangi bir A sayısının a,b,c tam bölenleri için (a,b,c aralarında asal) genel çözüm

A(1-1/a)(1-1/b)(1-1/c) şeklindedir. ispatı da yazılışı kadar şıktır. (yazılışı tıpkı totient...hımm)

başlığın neden "big totient" diye atıldığını şimdi anladım. Bu ifade Eulerin totient fonksiyonunu andırıyor ama biraz FARKLI a,b,c asal olmayabilir. Kim buldu acaba bunu? (Burada a,b,c,.. sayıları A nın tüm asal çarpanları olarak seçildiğinde karşımıza Eulerin totient fonksiyonu çıkıyor.)

örnek:
1 den 60 a kadar (1 ve 60 sayıları dahil) kaç tane 5 veya 6 ya bölünemeyen sayı vardır
60(1-1/5)(1-1/6)=60*2/3=40 tane vardır (demek ki 20 tane 5 veya 6 e bölünebilen sayı var.)

örnek:
1 ile 108 arasında 4 eya 9 a bölünemeyen kaç sayı vardır?
108(1-1/4)(1-1/9)=108*2/3=72 tane (burda çıkan 2/3 sayısına takılmayın. yukarıdaki örnekteki ile aynı katsayı çıkmış. olabilir...)

örnek:
1 ile 1008 arasında 4,7 veya 9 a bölünemeyen kaç sayı vardır?
1008(1-1/4)(1-1/7)(1-1/9)=1008*4/7=576 tane :)

peki bu son örnekteki bu 576 sayının toplamını bulabilirmiyiz? (not:2. soruda soruluyor)

tam olarak ne üzerinde yorum yapmamız ya da neyi çözmemiz bekleniyor ben anlayamadım.
yukarıda Euler Phi fonksiyonunun bir uygulaması var ben sadece onu gördüm.

bana göre kime ait se güzel bir formül eline sağlık
yukarıda parantez içinde de belirtildiği gibi bu formül totient fonksiyonuna şekilsel olarak benzemekte hatta bir yerde de totient hakkında biligiler verrmekte , daha da iyisi totientin ispatı bile bu şekilde de yapılabilmekte.
ama ben anlamadım yukarıdaki örneklerin hangisi totient fonksiyonun uygulamasıdır?
öreneğin: totient(60)=16 ,totient(108)=96,totient(1008)=384 dir Ama burada farklı bir şey yapılmaktadır?
mesala yukarıda 1-1008 arasında (1 ve 1008 dahil) 4,7 veya 9 a tam bölünemeyen sayıların 576 tane oduğu bulunmuş. dikkat edirlirse formülde 1008 sayısının tüm asalları kullanılmamış, dahası asal olmayan sayılar bile kullanılmış (4,9 gibi). bana ilginç geldi ...
totient fonksiyonun hiç bir yerinde böyle birşey görmemiştim...yada göremedim:( ...ee totient i ancak internetten görmüş birisi ne kadar neyi görebilir?

şimdi şu soruluyor 1-1008 arasında (1 ve 1008 dahil) 4,7 veya 9 a bölünemeyen sayıların toplamı nedir?

yorumlarınız yol göztermeleriniz için teşkkürler.....

aslında phi fonksiyonu uygulaması derken onun mantığının olduğu doğal olarak da onun gibi bir sonuç veren bir durum var demek istemiştim. yoksa birebir phi fonksiyonu uygulaması değil tabiki. yukarıda soruyla phi fonksiyonu arasında şöyle bir geçiş yapabiliriz

yzım tasarrufu olun diye ben de sadece abc ile uğraşayım , A sayısı aralarında asal lan a,b ve c sayılarına tam bölünüyorsa
A=k.a.b.c şeklindedir. a.b.c=E diyelim A=k.E

sayılarımı aralarında asal olduğu için ve sadece tam bölünebilen sayıları devre dışı bırakmamız istendiği için (mesela a=12 için 18 sayısını elemiyoruz böylece 12 nin bütünlüğünü bölerken de b ve c ile eşleştirirken de bozmuyoruz) E sayısını sanki 3 tane asal sayının 1. kuvvetlerinin çarpımı olduğunu ve bize de φ(E) nin sorulduğunu düşünebiliriz
φ(E)=(a-1).(b-1).(c-1) olacaktır. E ye kadar bu kadar sayı a, b, c ile bölünmeyecektir
A ya kada k tane E lik blok var yani A ya kadar k.(a-1).(b-1).c-1) tane sayı a,b veya c ile bölünmeyecektir

A=k.a.b.c oluğundan bunu A.(a-1).(b-1).(c-1)/(a.b.c)=A.(1-1/a).(1-1/b).(1-1/c) şeklinde yazabiliriz.


şimdi esas sorunuza gelirsek

'den alıntı:

1-1008 arasında (1 ve 1008 dahil) 4,7 veya 9 a bölünemeyen sayıların toplamı nedir?

bize sayılar ne şekildeverilmiş olursa olsun 4,7,9 ya da başka sayılar olsun ,
m bu sayılarla bölünmeyen ve 1008 den küçük bir sayı ise (1008-m) sayısı da aynı şekilde bu sayılarla bölünmeyen bir sayıdır ve elimizde kalan sayılar arasında bulunmalıdır. yani hemen Gauss yöntemini devreye sokuyoruz :)
bu sayıları bir de tersinde yazıyoruz

1,2,3,5,...,1005,1006,1007
1007,1006,1005,...,5,3,2,1

burada alt alta gelen her sayı ikilisinin toplamı 1008 dir , ve toplamda 1008.(4-1).(7-1).(9-1)/(4.7.9)=4.3.6.8=576 tane ikili olacaktır.

demekki bu sayıların toplamı 1008.576/2=290304 olur


genel halde a,b,c,d,... sayıları aralarında asal ve hepsi de A sayısını bölen sayılar ise A sayısına kadarki sayılardan a,b,c,d,... sayılarından hiçbirine bölünmeyen sayıların toplamı

(A²/2).(1-1/a).(1-1/b).(1-1/c).(1-1/d).... olur

şu simetriklik olayı ve snouç formül çok güzel olmuş.
yukarıdaki sorunun cevabını bir çırpıda bulabiliyoruz (504.576)

ama fi(E)=(1-a).(1-b).... bunun ispatı biraz zor/karmaşık galiba