Haftanın Sorusu ...

Kakuro bir bulmaca türüdür.
a, 3 ile 45 arasında bir tamsayıdır. N ise a'nın bir fonksiyonudur ve a sayısının 1'den 9'a kadar doğal sayıların yinelemesiz (tekrarsız) toplamı olarak kaç değişik biçimde yazdığını vermektetir .
N(10)=9
Gerçekten de 10 sayısı 1 ile 9 arasındaki rakamların yinelemesiz toplamı olarak 9 değişik biçimde yazılmaktadır .
10=1+9
10=2+8
10=3+7
10=4+6
10=1+2+7
10=1+3+6
10=1+4+5
10=2+3+5
10=1+2+3+4 (gördüğünüz gibi tekrarsız ve 1'den 9'a kadar olan tam sayılarla 9 sonucunu veriyor :D )
Gelelim soruya :
N(a) değerlerinin en büyüğü kaçtır ? N(a) değerlerini toplamı kaçtır?
Şimdiden Teşekkürler... :D

hiç çözmeden en büyük değerin N(22)=N(23) te oluşacağını söyleyebilirim ama bu değer nedir çözmek lazım
bir de 3 ile 45 arasına 1 ve 2 yi dahil edip ayrıca sayıların tek toplam halinde yazılabilmesinin önünü de açarsak yani
mesela 8=1+7 olabildiği gibi 8=8 şeklinde de yazılabilirse N(a)=N(45-a) eşitliği de simetriden bulunabilir.

kalan kısımlar için soruya uğraşmam gerek , inş. çözebiliriz.

F(n,k) diye bi fonksiyon tanımlayalım n'in k tane sayı toplamıyla yazılmalarının sayısı olsun

mesela F(10,4)=1 (1+2+3+4)
burada her n sayısı (k²+k)/2 den büyük eşit olmalıdır yani en son F(22,k) için inceleme yapacağımızdan (k²+k)/2≤22 → k 6 olabilir.

şimdi bir tespit yapalım;
F(n,k) oluşturulurken sayılar küçükten büyüğe sıralandığında her sayıdan 1 çıkartalım
eğer sayılar 1 ile başlıyosa sonu 9 ile bitmeyen F(n-k,k-1) lere
eğer sayılar 1 ile başlamıyosa da sonu 9 ile bitmeyen F(n-k,k) lara ulaşırız , peki sonu 9 ile bitmek ne demek?
sonu 9 ile biten F(a,b) lerin sayısı sonu 9 ile bitmeyen F(a-9,b-1) ler olarak bulunabilir.

yani sonuç olarak şu ilişkiyi kurabiliyoruz
F(n,k)=F(n-k,k-1)-F(n-k-9,k-2)+F(n-k,k)-F(n-k-9,k-1)

şimdi ilk bikaç değeri bulup kalanları bu ilişkinin yardımıyla dolduralım
F(0,0)=1 (tanım olsun , zaten sıfırı 0 sayı kullanarak 1 şekilde yazabiliriz)
F(1,1)=1 → N(1)=1
F(2,1)=1 → N(2)=1
F(3,1)=1 , F(3,2)=1 → N(3)=2
F(4,1)=1 , F(4,2)=1 → N(4)=2
F(5,1)=1 , F(5,2)=2 → N(5)=3
F(6,1)=1 , F(6,2)=2 , F(6,3)=1 → N(6)=4
F(7,1)=1 , F(7,2)=F(5,1)+F(5,2)=3 , F(7,3)=F(4,2)+F(4,3)=1+0=1 → N(7)=5
F(8,1)=1 , F(8,2)=F(6,1)+F(6,2)=3 , F(8,3)=F(5,2)+F(5,3)=2+0=2 → N(8)=6
F(9,1)=1 , F(9,2)=F(7,1)+F(7,2)=4 , F(9,3)=F(6,2)+F(6,3)=2+1=3 → N(9)=8
F(10,1)=0 , F(10,2)=F(8,1)+F(8,2)=4 , F(10,3)=F(7,2)+F(7,3)=3+1=4 , F(10,4)=F(6,3)+F(6,4)=1+0=1 → N(10)=4+4+1=9
burdan sonraki her F(n,1)=0 yazmaya gerek yok sanırım

F(11,2)=F(9,1)-F(0,0)+F(9,2)=1+4-1=4 , F(11,3)=F(8,2)+F(8,3)=5 , F(11,4)=F(7,3)+F(7,4)=1 , N(11)=10

F(12,2)=F(10,1)+F(10,2)-F(9,1)=3 , F(12,3)=F(9,2)+F(9,3)=7 , F(12,4)=F(8,3)+F(8,4)=2 → N(12)=12

F(13,2)=3 , F(13,3)=7 , F(13,4)=F(9,3)+F(9,4)=3 → N(13)=13
F(14,2)=2 , F(14,3)=8 , F(14,4)=5 → N(14)=15
F(15,2)=2 , F(15,3)=8 , F(15,4)=6 , F(15,5)=F(10,4)+F(10,5)=1+0=1 → N(15)=17
F(16,2)=1 , F(16,3)=8 , F(16,4)=8 , F(16,5)=1 → N(16)=18
F(17,2)=1 , F(17,3)=7 , F(17,4)=9 , F(17,5)=2 → N(17)=19
F(18,2)=F(16,1)+F(16,2)-F(7,1)=0 , F(18,3)=7 , F(18,4)=11 , F(18,5)=3 → N(18)=21
buradan sonra k=2 leri yazmayız
F(19,3)=5 , F(19,4)=F(15,3)-F(6,2)+F(15,4)-F(6,3)=8-2+6-1=11 , F(19,5)=5 → N(19)=21
F(20,3)=4 , F(20,4)=12 , F(20,5)=6 → N(20)=22
F(21,3)=3 , F(21,4)=11 , F(21,5)=8 , F(21,6)=1 → N(21)=23
F(22,3)=2 , F(22,4)=11 , F(22,5)=9 , F(22,6)=1 → N(22)=23
kalanları da başta simetrik olduğunu söylemiştik

mesela N(34)=N(45-34)=N(11)=10


yani bu incelemeden de en büyüğün başta söylediğimiz gibi N(22) ve N(23) olduğunu bulduk ama N(21) ve N(24) de onlara eşitmiş en fzla 23 değişik yazım ortaya çıkabiliyomuş

tümünün toplamı
2.(1+1+1+2+2+3+4+5+6+8+9+10+12+13+15+17+18+19+21+21+22+23+23)=512 oldu
tabi 0-9 rasındakilerin tekli olarak yazılabildiğini kendimizce kabul etmiştik o 10 taneyi çıkartırız cevap 502 olur tabi işlem hatası yapmadıysak :)

bu kadar uzatmadan her sayı için tek tek de yzılabilirdi ama ben sistemli bi çözüm olsun istedim tabi şu 512=2⁹ sayısı da orada bi garip duruyo büyük ihtimalle çok kolay bir mantıkla çözümü de vardır bu sorunun.

şimdi düşünüyodum o 512 nin nedeni belli sonuçta toplamaya girebilecek sayılar 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ve hangi altkümeyi seçersek seçelim farklı bir duum oluşacak ve tüm durumlar da bu rakamların bir altkümesi yani 2⁹ gelmesi doğal sonuç.
tek tek herbir toplam için kaç altküme bulunabilir bunun için kısa bir yol var mı bilmiyorum.

hocam n sayısı (k²+k)/2 den büyük eşit olmalıdır kısmı nasıl oluyor

Bu soruyu ödev mi verdiler sana?

yok ödev olarak değil haftalık olarak böyle ilginç sorular asılıyor bu soruyu hazırlayan hocamız okuldan ayrıldı çözümü öğrenemedim onun için :D

brstsn655'den alıntı:

hocam n sayısı (k²+k)/2 den büyük eşit olmalıdır kısmı nasıl oluyor

sayılar farklıysa k tane sayının toplamı en az (k²+k)/2 olur çünkü 1+2+3+...+k=(k²+k)/2

gereksizyorumcu'den alıntı:

F(n,k) diye bi fonksiyon tanımlayalım n'in k tane sayı toplamıyla yazılmalarının sayısı olsun

mesela F(10,4)=1 (1+2+3+4)
burada her n sayısı (k²+k)/2 den büyük eşit olmalıdır yani en son F(22,k) için inceleme yapacağımızdan (k²+k)/2≤22 → k 6 olabilir.

şimdi bir tespit yapalım;
F(n,k) oluşturulurken sayılar küçükten büyüğe sıralandığında her sayıdan 1 çıkartalım
eğer sayılar 1 ile başlıyosa sonu 9 ile bitmeyen F(n-k,k-1) lere
eğer sayılar 1 ile başlamıyosa da sonu 9 ile bitmeyen F(n-k,k) lara ulaşırız , peki sonu 9 ile bitmek ne demek?
sonu 9 ile biten F(a,b) lerin sayısı sonu 9 ile bitmeyen F(a-9,b-1) ler olarak bulunabilir.

yani sonuç olarak şu ilişkiyi kurabiliyoruz
F(n,k)=F(n-k,k-1)-F(n-k-9,k-2)+F(n-k,k)-F(n-k-9,k-1)

şimdi ilk bikaç değeri bulup kalanları bu ilişkinin yardımıyla dolduralım
F(0,0)=1 (tanım olsun , zaten sıfırı 0 sayı kullanarak 1 şekilde yazabiliriz)
F(1,1)=1 → N(1)=1
F(2,1)=1 → N(2)=1
F(3,1)=1 , F(3,2)=1 → N(3)=2
F(4,1)=1 , F(4,2)=1 → N(4)=2
F(5,1)=1 , F(5,2)=2 → N(5)=3
F(6,1)=1 , F(6,2)=2 , F(6,3)=1 → N(6)=4
F(7,1)=1 , F(7,2)=F(5,1)+F(5,2)=3 , F(7,3)=F(4,2)+F(4,3)=1+0=1 → N(7)=5
F(8,1)=1 , F(8,2)=F(6,1)+F(6,2)=3 , F(8,3)=F(5,2)+F(5,3)=2+0=2 → N(8)=6
F(9,1)=1 , F(9,2)=F(7,1)+F(7,2)=4 , F(9,3)=F(6,2)+F(6,3)=2+1=3 → N(9)=8
F(10,1)=0 , F(10,2)=F(8,1)+F(8,2)=4 , F(10,3)=F(7,2)+F(7,3)=3+1=4 , F(10,4)=F(6,3)+F(6,4)=1+0=1 → N(10)=4+4+1=9
burdan sonraki her F(n,1)=0 yazmaya gerek yok sanırım

F(11,2)=F(9,1)-F(0,0)+F(9,2)=1+4-1=4 , F(11,3)=F(8,2)+F(8,3)=5 , F(11,4)=F(7,3)+F(7,4)=1 , N(11)=10

F(12,2)=F(10,1)+F(10,2)-F(9,1)=3 , F(12,3)=F(9,2)+F(9,3)=7 , F(12,4)=F(8,3)+F(8,4)=2 → N(12)=12

F(13,2)=3 , F(13,3)=7 , F(13,4)=F(9,3)+F(9,4)=3 → N(13)=13
F(14,2)=2 , F(14,3)=8 , F(14,4)=5 → N(14)=15
F(15,2)=2 , F(15,3)=8 , F(15,4)=6 , F(15,5)=F(10,4)+F(10,5)=1+0=1 → N(15)=17
F(16,2)=1 , F(16,3)=8 , F(16,4)=8 , F(16,5)=1 → N(16)=18
F(17,2)=1 , F(17,3)=7 , F(17,4)=9 , F(17,5)=2 → N(17)=19
F(18,2)=F(16,1)+F(16,2)-F(7,1)=0 , F(18,3)=7 , F(18,4)=11 , F(18,5)=3 → N(18)=21
buradan sonra k=2 leri yazmayız
F(19,3)=5 , F(19,4)=F(15,3)-F(6,2)+F(15,4)-F(6,3)=8-2+6-1=11 , F(19,5)=5 → N(19)=21
F(20,3)=4 , F(20,4)=12 , F(20,5)=6 → N(20)=22
F(21,3)=3 , F(21,4)=11 , F(21,5)=8 , F(21,6)=1 → N(21)=23
F(22,3)=2 , F(22,4)=11 , F(22,5)=9 , F(22,6)=1 → N(22)=23
kalanları da başta simetrik olduğunu söylemiştik

mesela N(34)=N(45-34)=N(11)=10


yani bu incelemeden de en büyüğün başta söylediğimiz gibi N(22) ve N(23) olduğunu bulduk ama N(21) ve N(24) de onlara eşitmiş en fzla 23 değişik yazım ortaya çıkabiliyomuş

tümünün toplamı
2.(1+1+1+2+2+3+4+5+6+8+9+10+12+13+15+17+18+19+21+21+22+23+23)=512 oldu
tabi 0-9 rasındakilerin tekli olarak yazılabildiğini kendimizce kabul etmiştik o 10 taneyi çıkartırız cevap 502 olur tabi işlem hatası yapmadıysak :)

bu kadar uzatmadan her sayı için tek tek de yzılabilirdi ama ben sistemli bi çözüm olsun istedim tabi şu 512=2⁹ sayısı da orada bi garip duruyo büyük ihtimalle çok kolay bir mantıkla çözümü de vardır bu sorunun.

Bu sorunun yılın sorusu olması gerekir. Böyle bir çözümden dolayı.

Admin'den alıntı:

Bu sorunun yılın sorusu olması gerekir. Böyle bir çözümden dolayı.

bence bu yılın cevabı olmalı