doğal sayılar

122333444455555.............. sayısının baştan 1000000. rakamı kaçtır?

n sayısı bitene kadar 1+2+...+n=n.(n+1)/2 tane n sayısı görünecektir
rakamlara göre işlem yapmamız gerektiğinden basamak sayılarını da dikkate almalıyız

1 basamaklılar n=9 a kadardır 9.10/2=45 rakamlık bir dizi oluştururlar
2 basamaklılar n=10 dan n=99 a kadardır (99.100-9.10)/2 sayı vardır herbiri de 2 rakam kulanacağından dizi 9810 rakam içerir
3 basamaklılar n=100 den n=999 a kadardır ama 999 e gelen kadar 1000000 rakamı geçeceğimizden bitirdiğimiz yere k diyelim

n=100 den (k-1) e kadar toplam kullandığımız rakam sayısı 1000000 dan az ama n=k da dahil edilince 1000000 dan fazla olsun
((k-1).k-99.100)/2 tane 3 basamklı sayı vardır herbiri de 3 rakam kullanır toplamda
3.(k²-k-9900)/2 nin 1.000.000-(9810+45) den küçük olan en büyük sayı olmasını istiyoruz
3k²-3k<2009990
k²-k<669997 → buradan k en fazla 819 bulunur ve 818 e kadar sayılarda
3(818.819-99.100)/2+9810+45=999.918 rakam kullanılmış olur
geriye kalan 82 rakamın 81 tanesi 27 kere 819 yazarken kullanılır , 1.000.000 . rakam da sıradaki 819 u yazarken yazacağımız 8 rakamı olur

buradan yapılan işlemin doğru olduğunu da görebiliyoruz

1 den 818 e kadar rakamların sayısı = 999.918