b bir dik kenar olmak üzere, kenar uzunlukları tam sayılar olan ABC dik üçgeninde b uzunluğu bir asal sayı ise,

tanB=2b/(b²-1)

olduğunu gösteriniz.

youtubedaki video response sistemi misali soruya cevap yazmak yerine başka soruyla karşılık verdim :)

Farkettim hocam :) Şimdi ben de sizin sorunuza cevap yazamıyorum, kendi sorumu çözmüş olacağım :)

https://img402.imageshack.us/img402/2255/matadsz.jpg

Melek, sen özel bir durumu seçmiş ve iddianın bu durum için gerçeklendiğini göstermişsin. Ama istenen şu: b kenarının uzunluğu bir asal sayı olduğu sürece bu eşitlik geçerli olacaktır. b=3, 5, 7, 11, 13... hepsi için. Sayısal ifadelerden cebirsel ifadelere geçmen gerekir gibime geliyor...

evet anladım hocam :)

Kimse çözmemiş veya çözememiş, yeterince zaman geçti ben yazayım çözümü.

ABC dik üçgeninin dik kenarları b ve c olsun. Bu durumda Pisagor bağıntısına göre

b²+c²=a² => b²=a²-c²=(a-c)(a+c)

yazabiliriz. b sayısı bir asal sayı olduğuna göre, b² sayısı, iki sayının çarpımı şeklinde b×b veya 1×b² şeklinde yazılabilir. Birinci hal, yani

a-c=b ve a+c=b

olamaz. Çünkü bu denklemlerden a=b, c=0 değerleri elde edilir ki bu durumda ABC bir üçgen olamaz. İkinci halde, a, b ve c uzunluk ifade ettikleri, yani doğal sayılar oldukları için

a-c=1 ve a+c=b²

olmalıdır. Bu durumda ilk denklemden a=c+1 ve ikinci denklemden de

c+1+c=b² => c=(b²-1)/2

sonucu elde edilir. Üçgen notasyonunda kenarlar, karşısında bulundukları köşenin adı ile anıldıklarından

tanB=karşı dik kenar/komşu dik kenar=b/c

olacağından, dik kenarlarından biri b olan bir dik üçgende b bir asal sayı ise

tanB=b/[(b²-1)/2]=2b/(b²-1)

olur.

çözüm yazabilirdim ama uğraşırlar diye bekledim :)
nedense kimse bu sorulara uğraşmıyor herkes bir sınav telaşında , öss-öys tüm öğrencilik hayatları onunla gidiyo.

Hocam keşke yazmasaydınız :) dün yazılılarım vardı tam bakamamıştım

Alıntı:

---

duygu95'den alıntı

Hocam keşke yazmasaydınız :) dün yazılılarım vardı tam bakamamıştım

---

iyi o zaman buna bak bakalım
bir pisagor üçgeninde (pisagor üçgeni: kenarları tamsayı olan diküçgen) dikkenarlardan birisiyle hipotenüs aralarında asalsa hipotenüsün tek sayı olduğunu gösteriniz.

bi tane daha
bir pisagor üçgeninin alanının her zaman çift sayı olduğunu gösteriniz

Alıntı:

---

duygu95'den alıntı

Hocam keşke yazmasaydınız :) dün yazılılarım vardı tam bakamamıştım

---

Bir dahaki sefere "çözeceğim" yaz, uğraşıldığını anlayayım. O zaman yazmam.

merhaba hocam ben yeni üye oldum ,soruyla uğraşmıştım ama farklı bi yoldan denemiştim aslında kolaymış. arkadaşa yazdığınız soruyla çok uğraşmadım ama şu kadarını yaptım;
üçgenin kenarları a,b ve hipotenüs c olsun çözümde yaptığınız gibi pisagor bagıntısından a²+b²=c² buradanda b²=(c+a)(c-a) olur. c+a=b² c-a=1 olur

dik kenar olarak a yı alalım , c=1+a dır . a∕c=a/(a+1) olur burda pay ve payda aralarında asaldır.
c+a=b² ifadesinde c yerine a+1 yazarsak 2a+1=b² olur, 2a+1 sayısı tektir bu sebeple b de tektir (tek sayıların kuvvetleri tektir)
buraya kadar geldim fakat c nin tek sayı olduğunu gösteremedim biraz uğraşırsam gösterebilirim herhalde :)

Alıntı:

---

bir pisagor üçgeninde (pisagor üçgeni: kenarları tamsayı olan diküçgen) dikkenarlardan birisiyle hipotenüs aralarında asalsa hipotenüsün tek sayı olduğunu gösteriniz.

---

Soruyu okulda gördüm tenefuste uğraşmıştım ama benzer bir çözüm yazılmış

x²+y²=z²
x²-z²=-y²

z²-x²=y²

(z-x).(z+x)=y²

Alıntı:

---

a-c=b ve a+c=b

olamaz. Çünkü bu denklemlerden a=b, c=0 değerleri elde edilir ki bu durumda ABC bir üçgen olamaz. İkinci halde, a, b ve c uzunluk ifade ettikleri, yani doğal sayılar oldukları için

a-c=1 ve a+c=b²

---

buna göre

z-x=1..(z=1+x)

z+x=y² olur

1+x+x=y²

2x+1=y²

y bir tek sayıdır


Benim yorumum da buna benzer şekilde

Alıntı:

---

dik kenar olarak a yı alalım , c=1+a dır . a∕c=a/(a+1) olur burda pay ve payda aralarında asaldır.
c+a=b² ifadesinde c yerine a+1 yazarsak 2a+1=b² olur, 2a+1 sayısı tektir bu sebeple b de tektir

---

ek olarak :

dik kenarların 1 tanesi ile hipotenüs aralarında asal ise tek olan sayı kesinlikle asaldır o zaman hipotenüs tek bir sayıdır neden 2 olamadığını açıklayayım b bir tek sayı ise tek in karesi tektir diğer kenarlar hipotenusten küçük olacağından 2 den sonra tek ve asal bir sayı yoktur ve kenarlar tam sayı olamazlar

diye düşünüyorum

Alıntı:

---

bir pisagor üçgeninin alanının her zaman çift sayı olduğunu gösteriniz

---

Bu pek güzel olmadı hatta sanırım hiç olmadı çünkü soruda dik kenarların 1 tanesi asal demeli


c²=a²+b²

c²-b²=a²

c-b=1..(c=b+1)
c+b=a²(...b=a²-c..b=a²-b-1)


2b+1=a² ise a tek sayı

c+b=tek ise

b veya c den en çok 1 tanesi çift olmalıdır

c ,b den 1 fazla ise ardışık sayılardır

bunu sağlayan 12-13-5,24-25-7... üçgenleri vardır

o zaman hipotenus tek bir sayıdır b çift bir sayıdır

çift.tek=çift ise 2 'ye bölümü de çift sayıdır.

(a.b/2 = üçgenin alanı)

bende tam kenarların asal olmayabileceğini söyleyecektim zaten hipotenüsün tek olduğunu ve bir kenarın çift olduğunu gösterdiğimizde alanın da çift sayı olacağını görürüz , ben şurada takıldım dik kenarları arasında 1 fark olup hipotenüsü tek sayı olan üçgenleri göstermeden hipotenüsün tek olduğunu nasıl gösteririz ? yada şöyle söyleyeyim hipotenüsün tek olduğunu sadece üçgen örneklerini vererek mi gösterebiliriz?

Zaten kenarlardan 1 tanesi asal ise bir kenar n olsun asal ise hipotenus n+1 olur bu durum da n eğer 2 den farklı tek bir sayı ise hipotenus uzunluğu çift olur a 2 ise hipotenus çift bir sayı olur :confused: bu durumda asal olması şart mı değil mi bilmiyoruz

16-63-65 üçgenini hizmetinize sunuyorum , galiba yukarıda geçen her yorumu çürütebilen bir örnek

öncelikle aralarında asallıkla asallığı karıştırmamamız gerekiyor.
örnekte olduğu gibi hiçbiri asal olmayan ama aralarında asal sayılardan bir üçgen oluşabilir
dik kenarlardan birisi hipotenüsle aralarında asal ama tek kenar 63 ve asal değil


alan sorusundaysa "çift.tek=çift ve 2 ye bölümü çift sayıdır" yorumu nasıl yapılabilir?
çift bir sayının 2 ye bölümü pekala tek olabilir.
ayrıca dikkenarlardan birinin asal olması gibi bir koşul yok pisagor üçgeninde alan çifttir, olmadığını düşünüyosan aksine örnek veya ispat lütfen :)

Alıntı:

---

"çift.tek=çift ve 2 ye bölümü çift sayıdır"

---

bu yorumu verdiğim örnekteki üçgenler için yazmıştım..

Alıntı:

---

bunu sağlayan 12-13-5,24-25-7... üçgenleri vardır

---

16-63-65 üçgeninin varlığını bilmiyordum :) ama siz yine de çözümü yazmayın biraz uğraşayım :)

Alıntı:

---

duygu95'den alıntı

bu yorumu verdiğim örnekteki üçgenler için yazmıştım..

---

demek istediğim zaten bunu sağlamayan üçgen yok ,
"bir diküçgenin kenarları tamsayıysa alanı çift sayıdır" soru bunu göstermemizi istiyor.

16-63-65 de sadece işin dalgası öyle bir sürü üçgen bulunabilir :)

çözümü yazmayayım ama ipucu vereyim
çözüm çok kısa , zor bir soru olduğunu düşünüp aklınız farklı noktalara gitmesin.

a²+b²=c²

a=2k+1
b=2k(k+1)
c=2k(k+1)+1

a.b/2=((2k+1).2k(k+1))/2=2k²+3k²+k

burada 2k² kesinlikle çift sayıdır

k=tek sayı için 3k²+k Çift sayıdır

k=çift sayı için 3k²+k çift sayıdır

bu durumda alan çift sayıdır olabilir mi acaba

mesajda da belirttiğim gibi bu sadece özel bir durum , hipotenüsle uzun dikkenar arasında 1 birim fark olacak diye bir kural yok
yine aynı örneği vereyim mesela 48-55-73 üçgeni verdiğin 2k lı kuralın dışında kalıyor

Hocam şimdi ben bu ıspatın doğruluğunu veya yanlışlığını bu üçgeni bilmeden nasıl bilebilirim ?

mesela birde şunu kullanabilir miyiz ?

a=2k
b=k²-1
c=k²+1

şklinde de ifade edebiliyoruz fakat yine aralarında 2 fark var

Biraz daha düşüneyim ben o zaman :)

hep özel durumlardan hareket etmeye çalışıyosun , tüm pisagor üçlülerini
(2k+1) , 2k.(k+1) , 2k.(k+1)+1
veya
2k , k²-1 , k²+1 şeklinde yazabilseydik haklı olurdun ama bu şekilde yazılanlar tümünün ufak bir altkümesidir.

ayrıca aralarında 2 fark olanları bulmuşsun bu sefer , geriye kaldı 3,4,5,... fark olanlar

yol göstermesi açısından şunu çözeyim;

Alıntı:

---

hipotenüsle dik kenarlardan biri aralarında asalsa hipotenüs tek sayıdır

---

hipotenüsle dikkenarlardan biri aralarında asalsa ikisi birden ikiye bölünemez.
varsayalım ki hipotenüs çift sayı olsun bu duumda dik kenar tek sayı olmak zorunadır
hipotenüsün karesi bir çift sayı olacağından diğer dik kenar da tek sayı olacaktır
2 tane tek sayının kareleri toplamı 4 modunda her zaman 2 kalanı verir oysa hipotenüsün karesi 4 ile bölünür , çelişki
demekki hipotenüs çift olamaz.