√2 nin rasyonel sayı olmadığını ispatlayınız.

Çelişki bulma yoluyla ispatlayalım;
√2 rasyonel bir sayı olsun,

Bu durumda a ve b aralarında asal olmak üzere √2=

a

b

şeklinde yazılabilir

a

b

= √2

a = b√2 her iki tarafında karesini alalım;

a² = 2b²

Bu durumda a çifttir. Yani k ∈ Z olma üzere a = 2k şeklinde yazılabilir;
a² = 2b²
(2k)² = 2b²
4k² = 2b²
b² = 2k²
b = 2t

b yide çift bulduk. a ve b nin çift olması bu sayıların aralarında asal olmasıyla çelişir. Bu çelişki √2 rasyonel sayı kabul edilmesinden kaynaklanmaktadır. O halde √2 rasyonel sayı değildir.

Benzer bir yöntemle şu teorem de ispatlanabilir: Bir tamsayının karekökü ya bir tamsayıdır ya da irrasyonel bir sayıdır.