modüler aritmetik sorusu

(1⁷)+(2⁷)+(3⁷)+....+(10⁷) sayısının 10 ile bölümünden kalan kaçtır ?

hocam cevabı 5 buldum doğru mu? yani tam bölünüyor
ben cevabı şöyle buldum

(1)⁷=1 (7)⁷3
7¹=7
7²=9
(2)⁷=8 7³=3
2¹=2 7⁴=1
2²=4
2³=8
2⁴=6 (8)⁷=3
2⁵=2 8¹=8
8²=4
(3)⁷=7 8³=2
3¹=3 8⁴=6
3²=9 8⁵=8
3³=7
3⁴=1 (9)⁷=9
9¹=9
(4)⁷=4 9²=9
4¹=4
4²=6 (10)⁷=0
4³=4

(5)⁷=5
5¹=5
5²=5

(6)⁷=6
6¹=6
6²=6

bunları toplarsak 1+8+7+4+5+6+3+2+9=45 sonuç 5 olur

sanırım bununla ilgili bir teorem vardı şimdi hatırlayamadım ama şöylede çözebilirsiniz;
1⁷+2⁷+.....+8⁷+9⁷+10⁷≡
1⁷+2⁷+.....+(-2)⁷+(-1)⁷+0⁷ (mod10)

1⁷ ile (-1)⁷ birbirini sıfırlar. aynı şekilde;
2⁷ ile (-2)⁷
3⁷ ile (-3)⁷
4⁷ ile (-4)⁷
5⁷ kaldı, bunun sonucunu mod 10 göre bulmamız yeterli (diğer terimlerin toplamı mod10 göre 0dır.)

5¹≡5 mod10
5²≡5 mod10
.
.
hep 5 olur.
5⁷≡5 mod10
yani verilen sayının 10 ile bölümünden kalan 5 dir.

paradoks12'den alıntı:

sanırım bununla ilgili bir teorem vardı şimdi hatırlayamadım ama şöylede çözebilirsin

1⁷ ile (-1)⁷ birbirini sıfırlar. aynı şekilde;
2⁷ ile (-2)⁷
3⁷ ile (-3)⁷
4⁷ ile (-4)⁷.

hocam bu kısmı biraz açıklar mısınız nasıl birbirini sıfırlar

3⁷ ile (-3)⁷ yi ele alalım;
3⁷=3.3.3.3.3.3.3=+x olsun;
(-3)⁷=(-3).(-3)....(-3)=-x olur.
+x-x=0 olur.