Bozuk para sorusu

Bilet gişesindeki bilet satan görevli sabah gişeyi açmadan önce bir bakıyor ki önünde 100 kişi kuyruk olmuş ve hepsi de 50kr luk biletlerden 1 tane almak için bekliyor. Kuyruktaki müşterilerin yarısında 50 kuruş diğer yarısında da bozuk para olarak 1 lira var ve biletçimizin kasasında sabah olduğu için hiç para yok. Müşteriler arasında para transferine ya da diğer bir müşerinin bilet parasını ödemesine izin verilmediğini düşündüğümüzde biletçinin sorunsuz bir şekilde (sorun para üstü ödeyememe durumudur) tüm müşterilere bilet satabilme ihtimali nedir?

51/101

nasıl yaptınız?

Doğruluğundan emin değilim. Doğru olduğu teyit edilirse çözüm yazarım.

hocam bulduğunuz cevap neredeyse %50 gibi birşey yapıyor, sizce de biraz yüksek bi ihtimal değil mi?

düşünsenize sıradaki ilk kişide 1TL olma ihtimali %50 dir ve onda 1TL varsa geçmiş olsun :)
hadi onda 1 TL yok diyelim sonraki 2 kişide 1 TL varsa ki bunun ihtimali de
(1/2)³ gibi birşey oluyor ki gene geçmiş olsun
yani sadece ilk 3 kişi incelense bile gişecinin bilet satışını kesme ihtimali %62,5 lerde oluyor.

burada kaç kişide 1TL kaç kişide 50kr olduğu bilinmeden çözüm yapılamaz. şöyle ki;
1.durum:99 kişide 1TL, 1 kişide 50kr olması durumunda %100 ihtimalle sorun çıkıyor.
2.durum: 1 kişide 1TL 99 kişide 50kr olması durumunda %50 ihtimalle sorun çıkıyor. (elinde 1TL olan kişinin kuruğun en başında olması yada olmaması durumundan dolayı)
saygılar...

matera'den alıntı:

burada kaç kişide 1TL kaç kişide 50kr olduğu bilinmeden çözüm yapılamaz. şöyle ki;
1.durum:99 kişide 1TL, 1 kişide 50kr olması durumunda %100 ihtimalle sorun çıkıyor.
2.durum: 1 kişide 1TL 99 kişide 50kr olması durumunda %50 ihtimalle sorun çıkıyor. (elinde 1TL olan kişinin kuruğun en başında olması yada olmaması durumundan dolayı)
saygılar...

özür dilerim özür dilerim özür dilerim
kuyruktakilerin 50 sinde 50kuruş 50 sinde 1TL var

hemen soruyu da düzeltiyorum nasıl yazmayı unutmuşum gerçekten soruya uğraşan herkesten özür dilerim

gereksizyorumcu'den alıntı:

özür dilerim özür dilerim özür dilerim
kuyruktakilerin 50 sinde 50kuruş 50 sinde 1TL var

hemen soruyu da düzeltiyorum nasıl yazmayı unutmuşum gerçekten soruya uğraşan herkesten özür dilerim

sorun değil.. eğer düzeltmeyi yaparsan gerçekten çok hoşuma giden bir soru olacak :)

evet çok ünlü bir sorudur zaten hatta bu sayının bir adı bile var :)

gereksizyorumcu'den alıntı:

evet çok ünlü bir sorudur zaten hatta bu sayının bir adı bile var :)

ipucu vermeyin hocam. büyüsü kaçmasın:) o sayıyı bir de biz bulalım bulabilirsek :)

Yolun sonunda e ya da 1/e var demiyceksiniz değil mi?

hocam bu soruyu hangi soruya atfen yazdım baktınız mı?
bu soruya uğraşırken aklıma gelen basit bir karınca sorusu vardı ben de basitini boşverelim hazır sorulmuşu var uğraşmak isteyenler onunla uğraşsın gibisinden bunu yazdım.
linkteki sorunun yorumlarını okuyabilirsiniz. bu sorunun çözümlerinden biri (oldukça şık bir çözümdür) linkteki soruyla çok ilgili.
ve korkmayın e veya 1/e yok soruda :)

Bana sanki

(1*3*5*...*99)/(2*4*6*...*100)

gibi geldi ama...

ömer_hoca'den alıntı:

Bana sanki

(1*3*5*...*99)/(2*4*6*...*100)

gibi geldi ama...

bu 100!/(50!².2¹⁰⁰) oluyor değeri de yaklaşık %8 gibi birşey çıkıyormuş wolframdan baktım.
matematikçifm hocamızın cevabından daha yakın ama bu da cevap değil zaten cevap bu kadar karışık da değil :)

Soruyu yeniden okudum. Ben, yarısında 50 kuruş, yarısında 1 lira olduğu şartını unutmuşum soruyu çözerken. Ama bu saatte daha fazla uğraşamam, kısmetse sabaha artık :)

Ben 51/101 cevabını yazarken, yarısı 50 kuruş, yarısı 1 tl veriyor bilgisi yoktu,
Ayrıca 51/101 i bulmadan önce bahsettiğiniz soruyu görmemiştim. Cevabı yazdıktan sonra soruyu gördüm. Ben de bu cevabı binom açılımından bulmuştum zaten.
Bir de, sorunun ilk halinde yarı- yarıya şartı olmadığı için, İşlemin tamamlanabilmesi için ; 50 kuruş verenlerin , 1 tl verenlerin sayısından büyük eşit olması gerektiğinden ilk olarak bunun olasılığını bulmaya çalıştım.
Ünlü bir sayı değince , bir de işin içinde açılım olunca e sayısı mı acaba dedim.

Pek ünlü değil ama galiba cevap 1/51

evet cevap 1/51 , sayılar ünlü dememiştim :) adı var sayıların , tam olarak sayıların da değil bu kombinasyonların sayısının adı var Catalan Sayıları.

çözümünü de yazar mısınız hocam?

Ben biraz deneme yanılma yoluyla buldum. Benim ki pek bilimsel değil, siz yazın isterseniz.

Ayrıca öbür soruyla alkasını da tam kuramadım, binom açılımından başka.

çözümünü (yani çözümlerinden birini) yazarsak öbür soruyla alakası görünebilir :)
çözümü şimdi yazayım mı? belki uğraşanlar olur diye düşünmüştüm gerçi cevap bulundu ama.

Açıkçası benim izlediğim cebirsel yönteme göre çok yüksek bir ihtimal gibi görünüyor 1/51 ama ben henüz sonuca ulaşamadım. Bence yazın artık çözümü, zaten pek kimseden ses çıkmıyor gibi. Belki ben de izlediğim yolu yazarım, üzerinde tartışırız.

tamam kabataslak bir çizim yapıp hemen ekleyyim

İlk önce tüm durumları sayalım sonra bunlardan kaç tanesi işimize yarayan kaç tanesi yaramayan bunu belirlemeye çalışalım.

50 kuruş sahiplerini yukarı hamleler , 1 TL sahiplerini de sağa hamleler olarak düşünürsek
https://img28.imageshack.us/img28/6002/matcatalan.jpg

tüm duumların sayısı n=50 için A dan C ye gidişlerin sayısıdır ve bu sayı da C(2n,n)=C(100,50) olur.

şimdi istenen durumları belirlemeye çalışalım bunu da işimize yaramayanları çıkartarak yapabiliriz. A dan C ye giden yollardan kırmızı köşegenin altına düşmeyenleri işimize yarar köşegeni kesenler ise işimize yaramaz çünkü 1TL sahipleri kuyruğun oraya kadarki kısmı için 50 kuruş sahiplerine fazla geleceğinden para üstü verilemeyecektir.
Köşegenin kesilip sağ alta geçildiği her yol için köşegenin ilk defa kesilip ileri gidilen D gibibir nokta vardır ve buraya kadar sağa hamleler yukarı hamlelerin tam 1 fazlasıdır. bu noktaya kadar ki tüm sağa hamleleri yukarlarla tüm yukarı hamleleri de sağa hamlelerle değiştirdiğimizde başlangıç noktamız A dan B ye kayar, yani istenmeyen tüm durumların sayısıyla hiçbir kısıtlama olmadan B den C ye giden yoların sayısı eşittir.

B den C ye giden yol sayısı C(n+1+n-1,n-1)=C(2n,n-1) , n=50 olduğundan , C(100,49) olur

sınuçta bizden istenen ihtimal
=1-C(100,49)/C(100,50)
=1-(100!/(51!.49!))/(100!/(50!.50!))
=1-50!.50!/(51!.49!)
=1-50/51
=1/51 bulunur

Oy ! Oy ! Oy !

benim çok hoşuma giden bir soru ve çözümdür galiba siz beğenmediniz.
bahsi geçen konudaki karınca sorusu da buna ne kadar benziyor siz karar verin artık

Beğenmemek ne haddime. Ben ilim olarak görülen her şeyi beğenirim. Anlamasam da beğenirim. Bir de anlayabilsem.

hocam öncelikle kuyruktaki insanların elinde 50 kuruş lanları yukarı hamleler olarak 1TL olanları da sağa hamleler olarak düşünüp A dan B ye gidişlerin tüm kuyruk dizilişleriyle birebir eşleştiğini düşünüyor ve onu hesaplıyor sonra eğer bir dizilimde bilet satmda arıza çıkıyorsa muhakkak bu kırmızı köşegenin sağına geçilmiş olmalı diyor ve ilk geçilen noktaya kadar ki kısmın simetriğini alıyor ve diyor ki hangi noktada ilk kez geçmiş olursak olalım simetriğini aldığımızda başlangıç noktamız B ye kayar. ve tüm istenmeyen durumlara karşılık gelen bir yol olduğu gibi tüm yollara karşılık gelen bir istenmeyen durum vardır diyor(uz).
sonuçta istenmeyen durumların sayısı B den C ye gidişlerin sayısı kadardır , tüm durumların sayısı ise A dan C ye gidişlerin sayısı kadardır.
bu sayıları hesaplamak da zaten basit sırasıyla C(2n,n-1) ve C(2n,n) olur.

Uğraştım, didindim, bir şey anladım: bu tür sorularda cebir yöntemlerine hiç girmeyeceksin :)

Bu ızgara yönteminin, bu tür sorularının çözümünde kullanıldığını biliyorum ama, bir türlü kafama yatıramıyorum.

MatematikciFM'den alıntı:

Bu ızgara yönteminin, bu tür sorularının çözümünde kullanıldığını biliyorum ama, bir türlü kafama yatıramıyorum.

Aynen hocam.

çözümü inceledim ve şunu söyleyebilirimki, hem dahiyane hem de bu tür sorular için emsalsiz.

hocam neden n=50 alıyoruz ya ? Bu catalan sayıları kafayı yedirtcek bana.düşünüyorum düşünüyorum bi mantığa varamıyorum.:(

svsmumcu26'den alıntı:

hocam neden n=50 alıyoruz ya ? Bu catalan sayıları kafayı yedirtcek bana.düşünüyorum düşünüyorum bi mantığa varamıyorum.:(

50 tane 50 kuruş (ve 50 tane 1 TL) olduğu için n=50 alıyoruz