y'' - y = 2e^x
parametre değişimi?

1)İlk olarak y'' - y = 0 denklemi için çözüm yapalım;

y''=d² y(x) /dx² ve

y(x)=e^λx

düzenlemelerini yaparsak;


d² e^λx /dx² - e^λx = 0 denklemini elde ederiz.
d² e^λx /dx²= λ²e^λx olacağından;

λ²e^λx-e^λx = 0 olacaktır.

e^λx(λ²-1)=0 ise e^λx≠0 olduğundan;


λ²-1=0 olacaktır. Bu durumda λ için -1 ve 1 olarak 2 farklı çözüm vardır.

Öyleyse;

y₁(x)=c₁e^-x

y₂(x)=c₂e^x

y_c(x) =y₁(x)+y₂(x)= c₁e^-x + c₂e^x

Burada c₁ ve c₂ keyfi sabitlerdir.

Şimdi y_b₁(x)=e^-x ve y_b₂(x)=e^x için wronskian determinantı ile W(x) i hesaplayalım;

| e-x    ex |

|           | =

| (e-x)' ex'|

| e-x    ex |

|           | =  2

| -e-x  ex |

f(x)= 2e^x dersek;

v₁(x)=-∫ f(x)y_b₂(x)/W(x) dx ve v₂(x)= ∫f(x)y_b₁(x)/W(x)dx

v₁(x)=-∫ e^2x dx = - e^2x/2

v₂(x)= ∫1 dx=x olacaktır.

y_p(x)=v₁(x)y_b₁(x)+v₂(x)y_b₂(x)= - e^2x/2 + e^xx olacaktır.

Bu durumda denklemin genel çözümü;

y(x)=y_c(x)+y_p(x)= c₁e^x + c₂e^-x+e^xx olacaktır.

Bunlar üniversite müfredatı değil mi ? Enes Emre nereden biliyorsun,kendin mi çalıştın ? Çok iyi gerçekten,ben de öbür yaz tüm üniversite derslerine çalışmayı düşünüyorum..

evet üniv. müfredatıdır. ben sanırım 2. sınıfda görmüştüm. Yüksek matematik adlı dersde