7⁵⁰⁰ kaç basamaklı bir sayıdır?

hocam bu sorunun log₁₀7 sayısının yaklaşık değerini kullanmayan ya da başka hesap makinesi işlemlerinden faydalanmayan kolay bir çözümü var mı?

yani hesap mkinesi kullanmayacaksak
7²~<10²/2 olduğundan
7⁵⁰⁰~<10⁵⁰⁰/2²⁵⁰

2¹⁰>~10³ olduğundan 2²⁵⁰>~10⁷⁵ derdim
ve 7⁵⁰⁰~<10⁴²⁵ diyip 425 basamak civarıdır derdim ama cevabın bu olmadığını biliyorum :)

log7 nin değerini kullanınca cevap 423 basamak çıkıyor

Bu soru 11. sınıf ders kitabındaki örneklerden biriydi.
Bakalım logaritma kimsenin aklına gelecek mi diye sordum.
Teşekkür ederim. Özellikle hesap makinesiz yaptığınız çözüm orjinaldi.

ben de acaba tam sonucu hesap makinesiz ya da log7 nin değerini bilmeden bulmanın bir yolu var mı diye merak ettim açıkcası. aklına bir fikir gelen varsa paylaşsın lütfen.

sayın gereksizyorumcu 7²=49 dur ve yaklaşık olarak 10²/2 yani 50 olduğuda sizinde dediğiniz gibi ortadadır. sapma yalnızca %2 ..peki sayıları büyütürsek neler olmaya başlar? örneğin bu mantıkla 7⁴ ≈ 10⁴/ 2² olmalıdır. yani 2401 ≈ 2500.. sapma %3,96..
aynı şekilde 7^6≈10^6/2^3 durumunda 117649≈ 125000 olmalıdır. sapma %5,88.. yürüttüğünüz mantık ile sapmaların giderek arttığı ortada. kaldıki sadece 6. üste bile sapma yaklaşık %5,88 iken sizce üssün 400 ya da 500 gibi muazzam değerlerde olduğu sayıların akıl almaz büyüklüklere ulaştığı durumlarda bu mantık işlerliğini sürdürebilirmi? .. bu sorunun çözümü için sizin gibi doğal yollardan bir çözüm önereceğim ancak yemeğimi yemeliyim öncelikle :)

Çok orjinal bir çözüm bence. 500. kuvvette 2 basamak hata var, daha ne olsun ki.

Alıntı:

---

matera'den alıntı

sayın gereksizyorumcu 7²=49 dur ve yaklaşık olarak 10²/2 yani 50 olduğuda sizinde dediğiniz gibi ortadadır. sapma yalnızca %2 ..peki sayıları büyütürsek neler olmaya başlar? örneğin bu mantıkla 7⁴ ≈ 10⁴/ 2² olmalıdır. yani 2401 ≈ 2500.. sapma %3,96..
aynı şekilde 7^6≈10^6/2^3 durumunda 117649≈ 125000 olmalıdır. sapma %5,88.. yürüttüğünüz mantık ile sapmaların giderek arttığı ortada. kaldıki sadece 6. üste bile sapma yaklaşık %5,88 iken sizce üssün 400 ya da 500 gibi muazzam değerlerde olduğu sayıların akıl almaz büyüklüklere ulaştığı durumlarda bu mantık işlerliğini sürdürebilirmi? .. bu sorunun çözümü için sizin gibi doğal yollardan bir çözüm önereceğim ancak yemeğimi yemeliyim öncelikle :)

---

ben tam sonucu buluyorum demedim ki zaten acaba tam sonuç bulmanın güzel bir yolu var mıdır? ya da kolay uygulanabilir bir çözümü/fikri olan varsa belirtsin de üzerinde düşünelim diye yukarıda yazdım.

sapma konusuna da açıklık getirelim
log₁₀98=2log7+log2~1,9912 olduğundan
her 200 basamkta yaklaşık 1 basamak civarı bir sapma olur yani
7¹⁰⁰⁰⁰ in gerçek basamak sayısı bu yolla hesapladığımızdan sadece ( sadece :) ) 50 basamak falan sapar.

Alıntı:

---

matera'den alıntı

...bu sorunun çözümü için sizin gibi doğal yollardan bir çözüm önereceğim ancak yemeğimi yemeliyim öncelikle :)

---

bu yemek faslı biraz uzun mu sürdü ne? :)
şaka bi yana gerçekten önereceğiniz çözümü merak ettiğim için soruyorum, en kısa zamanda bizimle paylaşırsanız sevinirim.

7⁵⁰⁰=10^X
500*ln7=X*ln10

taylor açılıyla lnx fonksiyonu

k=(x-1)/(x+1)
lnx=2*(k+k³/3+k⁵/5+k⁷/7+...)
yukarıdaki açılıma göre
ln7≅1,93867473
ln10≅2,274797999
500*1,93867473=2,274797999*X
X=426

Alıntı:

---

3.14159265358979323846264'den alıntı

7⁵⁰⁰=10^X
500*ln7=X*ln10

taylor açılıyla lnx fonksiyonu

k=(x-1)/(x+1)
lnx=2*(k+k³/3+k⁵/5+k⁷/7+...)
yukarıdaki açılıma göre
ln7≅1,93867473
ln10≅2,274797999
500*1,93867473=2,274797999*X
X=426

---

bu pek güzel olmamış demek istiyorum sonuçta log7 nin değerini kullanmış oluyoruz, yani en azından bu değere Taylor Serileri ile yakınsıyoruz, hesap makinelri de farklı birşey yapmıyor ki bu işlemi yapabiliyo olduktan sonra direkt log7 yi de aynı hesap makinesine hesaplatabiliriz.

her neyse zaten sonucun hesaplanmasında ufak bir sorun olmuş k⁷ lere kadar açıp topladığınızda
ln7~1,91431013
ln10~2,21828803
ve buradan da x=431,5 gibi birşey bulunur ki sayının 432 basamaklı olduğunu hesaplamış oluruz. bu sayı gerçekte 423 basamaklıdır. (7²).2~10² yöntemiyle bil yaptığımız hata daha azdı.

Taylor serisi çok yavaş yakınsadığından böyle sorunların olması doğal daha farklı bir yöntem kullanmamız gerek diye düşünüyorum.

Alıntı:

---

gereksizyorumcu'den alıntı

bu yemek faslı biraz uzun mu sürdü ne? :)
şaka bi yana gerçekten önereceğiniz çözümü merak ettiğim için soruyorum, en kısa zamanda bizimle paylaşırsanız sevinirim.

---

ne yazıkki kafamda tasarladığım yola girince alakasız yerlere sürüklendiğimi gördüm. O yüzden paylaşma gereği duymadım. ama yinede logaritma fonksiyonunun hala bulunmadığını ve hesap makinelerininde icat olunmadığını varsayarak birşeyler düşünmeye devam edeceğim :) bulursam paylaşırım.

Alıntı:

---

matera'den alıntı

ne yazıkki kafamda tasarladığım yola girince alakasız yerlere sürüklendiğimi gördüm. O yüzden paylaşma gereği duymadım. ama yinede logaritma fonksiyonunun hala bulunmadığını ve hesap makinelerininde icat olunmadığını varsayarak birşeyler düşünmeye devam edeceğim :) bulursam paylaşırım.

---

o zaman reklamda da dendiği gibi

daha iyisini yapana kadar en iyisi bu :D