koşi teoremi?

x,y ve z reel sayılar ise,


A= √x²+1 + √(y-x)²+4

B= √(z-y)²+1 + √(10-z)²+3


olduğuna göre A+B nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

bu sorunun sizin karşınıza nerede çıktığını merak ediyorum, ayrıca başlıkta Koşi Teoremi dediğiniz tam olarak nedir ? beni bu 2 konuda aydınlatırsanız sevinirim.

sorunuzu Lagrange kullanarak çözebiliyoruz ama 12. sınıf için ne kadar makul birşey bilemiyorum.
x=a
y-x=b
z-y=c ve
10-z=d diye 4 tane değişken tanımlayalım

A+B=F(a,b,c,d)=√a²+1+√b²+4+√c²+1+√d²+3
fonksiyonunun min. değeri sorulmakta

tek koşulsa g(a,b,c,d,)=a+b+c+d=10

burada λ Lagrange çarpanıyken
L(F,g)=F(a,b,c,d)+λ.g(a,b,c,d) olarak tanımlandığında
dL/da=(a/√a²+1)+λ.1=0
dL/db=(b/√b²+4)+λ.1=0
dL/dc=(c/√c²+1)+λ.1=0
dL/dd=(d/√d²+3)+λ.1=0

bu denklmlerin hepsi ortak çözüldüğünde
b=2a
c=a
d=a√3 sonuçlarına ulaşılıyor

ve a+b+c+d=10 da bunlar çözümlenirse x=a=(40-10√3)/13
buradan da y=3x , z=4x bulunuyor

bu değerler de yerine yazıldığında (köklü değil de virgüldensonraki 5 basamak değerlerini yazdım x=1,74458 , y=5,23373 , z=6,97831)

F'in min değeri ~11,52634 bulunuyor

Heyt be ! varmı böyle bir moderatör. Ben çözemezdim bu soruyu.

İsmini hatırlıyorum Koşi teoreminin, her halde üniversiteden, ama isminden başka hiç bir şey.

büyük ihtimalle bu soruyu dahakısa yoldan çözmemizi sağlayacak bir teoremdir ama çözümde işlem hatası yapmadıysam x=10/(4+√3) değrinde bu ifade min. değerini aldığına göre bunu kolayca buldurtcak bişey olacağını sanmıyorum yine kareköklerin içindeki eklenen tamsayıların karekökleriyle doğru orantılı olmaları gerektiğini kullanmamız gerekecek.

Cauchy teoremi (tam olarak "koşi" diye ifade ederdi hocamız)

gereksizyorumcu'den alıntı:

büyük ihtimalle bu soruyu dahakısa yoldan çözmemizi sağlayacak bir teoremdir ama çözümde işlem hatası yapmadıysam x=10/(4+√3) değrinde bu ifade min. değerini aldığına göre bunu kolayca buldurtcak bişey olacağını sanmıyorum yine kareköklerin içindeki eklenen tamsayıların karekökleriyle doğru orantılı olmaları gerektiğini kullanmamız gerekecek.

Hocam benimde geçen dönemden hatırladığım kadarıyla cauchy teoremi ( Genelleştirilmiş Ortalama Değer Teoremi);

f(b)-f(a)

g(b)-g(a)

=

f'(x)

g'(x)

x∈(a,b) şeklindeydi ama bu formülü bu soruda uygulayamadım.

Öğretmenim ben de arattırdım. Hepsinin içeriğine baktım. Bu soruda kullanılabilecek bir şey bulamadım. Sayın gereksizyorumcunun çözümü sanırım yeterli olacaktır.

şimdi Cauchy Teoremine bakıyodum, yoldan bağımsız falan diyince biraz geç uyandım ama olsun uyandım :)
bu sorunun gerçekten çok kısa bir çözümü var.

şimdi koordinat sisteminde
O(0,0) , P₁(1,x) , P₂(3,y) , P₃(4,z) ve P₄(4+√3,10) noktalarını işaretleyelim

bize verilen A+B
=|OP₁|+|P₁P₂|+|P₂P₃|+|P₃P₄| olur
bu uzunluklar toplamı da
her zaman için |OP₄| uzunluğundan büyük eşittir .

|OP₄|=√(4+√3)²+10²
=√16+8√3+3+100=√119+8√3~11,526335

bu noktaların hepsi doğrusalken bu uzunluğa ulaşılır :)

Beyninize sağlık, yine orjinal bir çözüm.

Bu soru 12. sınıf test kitaplarından birinde sorulmuştu, hocamız da sorunun o anda çözülemeyeceğini, belki (sizin söylediğiniz gibi) cauchy teoremi ile çözülebileceğini ifade etti. Ben de merakımdan sayfaya koydum ama 12. sınıf test kitabında bulunduğu için bu kadar meşakatli bir çözümü olabileceğini düşünmemiştim, hocamızın dediğinin aksine kolay bir çözüm bekliyordum ama o anda bize çözmemekle doğrusunu yapmış sanırım.

Emeğinize sağlık