1)(x³-14x+11)/(2x³-5x²-4x+3) ifadesini basit
kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
2)(-x²+9x+16)/(2x³-5x²-4x+3) ifadesini basit
kesirlerin toplamı şeklinde yazınız.
3)1/(2²-1)+1/(3²-1)+....+1/(n²-1)=?
4)1/(1.3)+1/(2.4)+1/(3.5)+...+1/n(n+2)=?
5)1/6.7.8+1/7.8.9+1/8.9.10+....
+1/98.99.100=?

Öncelikle 9. sınıf düzeyi için ne kadar anlaşılabilir olacak bilmiyorum ama; soruları açıklamaya çalışacağım.
C.1
Burada evvela esas olan paydanın çarpanlarına ayrılması. Bunun için hemen aklımıza gelen ilk sayılar olan 1,-1,sondaki 3'ün pozitif ve negatif bölenleri vs. paydada yerine yazıyoruz. Bunlardan -1 sayısının paydayı sıfır yaptığını görüyoruz. O halde paydanın çarpanlarından biri (x+1) olmalı. Yani;
2x³-5x²-4x+3 = (x+1) . (ax²+bx+c) şeklindedir.
Polinomların eşitliğini kullanırsak; a=2, b=-7 ve c=3 buluruz. Yani;
2x³-5x²-4x+3 = (x+1) . (2x²-7x+3) = (x+1) . (2x-1) . (x-3) olur.

Bu çarpanları tespit ettikten sonra;

x³-14x+11

(x+1) . (2x-1) . (x-3)

=

A

x+1

+

B

2x-1

+

C

x-3

1-) Her taraf x+1 ile çarpılırsa;

x³-14x+11

(2x-1) . (x-3)

= A +

B.(x+1)

2x-1

+

C.(x+1)

x-3

x yerine x+1= 0 denkleminin kökü koyulursa; A= 2 bulunur.

Aynı işlem 2x-1 ve x-3 için de yapılırsa; B= -11/10 ve C= -1/5 bulunur.

x³-14x+11

(x+1) . (2x-1) . (x-3)

=

2

x+1

-

11

20x-10

-

1

5x-15

2. soruyu tamamen aynı yoldan çözebilirsiniz.
C.3 - C.4
Hep yaptığımız gibi önce paydayı çarpanlarına ayırıyoruz.

1

x²-1

=

1

(x-1).(x+1)

Bu kesre 1. ve 2. sorularda uyguladığımız yöntemi uygularsak;

1

(x-1).(x+1)

=

[

1

2

].[

1

x-1

-

1

x+1

]

Şimdi x yerine sırasıyla,
2,3,4......n yazıp sadeleştirerek 3. soruyu;
2,3,4......n,n+1 yazıp sadeleştirerek 4. soruyu buluruz.

5. soruyu da 3. ve 4. sorulardakine benzer şekilde 1/[n.(n+1).(n+2)] açılımı yapıp sadeleştirerek bulabilirsiniz. Ancak burada daha zor bir sadeleşme var:
https://img96.imageshack.us/img96/7113/2z82.png

Umarım bir işlem hatası yoktur :)

bunlar astronomik toplam sorusu değil mi