Tümevarım ispat sorularım (2 adet)

a) 4x³-x, x ∈ N (sonucun 3 verilmesinin doğru olduğu)

n

∑

k=1

(2k-1) = n²

Soruda benden indüksiyon yöntemi ile kanıtlamamı istiyor. Yardımcı olabilecek arkdaşlara şimdiden teşekkürler.

2.soru
n değerine kadar topla(toplamı aç
1+3+5+.....+2n-1
terim sayısını bul
2n-1-1/2+1=n gelir. yani n tane terim var burada. bu bir ardaşık dizi olduğundan toplam formülünü uygula
(son terim+ilk terim) /(artış miktarı) .(terim sayısı)
(2n-1+1)/2.n=n² gelir.

2.soru
Bu toplam ifadesini açık olarak yazarsak; k=1'den k=n'e kadar olan tek sayıların toplamının n² olduğunun ispatı

P(n): 1+3+5+7+...+2n-1=n² olur.

i) ilk elemanı 1 olduğu için,
n=1 için
2n-1=2.1-1=1
P(1): 1=1² P(1) doğrudur.

ii) P(k):1+3+5+...+(2k-1)=k² önermesini doğru varsayalım.

iii) n=k+1 için
P(k+1):1+3+5+...+(2(k+1)-1)=(k+1)² önermesinin doğruluğunu gösterelim.
P(k+1):1+3+5+...+2k+1=(k+1)²

Bu önerme, tek sayıların toplamından oluştuğundan, 2k+1 teriminden önceki terim 2k-1 'dir.
P(k+1):1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)²

ii. maddede 1'den başlayıp 2k-1'e kadar olan tek sayıların toplamı için k² olduğunu doğru varsaydığımızdan,
P(k+1): k²+(2k+1)=(k+1)²
Bu iki taraftaki ifadeler bir birine eşit olduğundan, P(k+1) önermesinin doğru olduğunu gösterir.