Bilim-teknik dergisi sorusu

A={1,2,3,....,2013} kümesinin bir M alt kümesi şu şart sağlıyor : "m kümesinden seçilen herhangi 3 elaman arasında biri diğerini bölen iki elaman bulunabilir." Buna göre m kümesinin en çok kaç elamanı olabilir? Cevap 21 miş

soru "bulunabilir" değil de "bulunur" şeklinde olduğunda (olmak zorunda zaten) kafamda bi çözüm belirdi gibi ama pek hoş bi çözüm olmadı. bu tip bir sürü soru görmüş biri olarak daha güzel çözüm bulunacağını düşünüyorum. biraz bekleyelim iyi bir çözüm bulunmazsa eldekini yazarız.

başka bişey düşünürken bu soruya (gerçek) bir çözüm buldum sanırım.
özel mesajla gönderdiğim çözümü unutman/yoketmen karşılığında yazabilirim :)

bu kadar basit bir çözümü olup da iki gün uğraşınca da insan üzülüyor yani.

M kümesinde 22 tane eleman olsun
küçükten büyüğe dizelim
1≤m₁<m₂<m₃<m₄<m₅<m₆<...<m₂₀<m₂₁<m₂₂

m₁≥1 , m₂≥2 , m₃≥3 olduğu açıktır.
m₂,m₃ ve m₄ üçlüsünden biri diğerini böleceğinden ve bu bölümün sonucu en az 2 olacağından
2.m₂≤m₄
benzer şekilde m₄,m₅ ve m₆ için biri diğerini böleceğinden
2.m₄≤m₆
...
2.m₁₈≤m₂₀
2.m₂₀≤m₂₂

m₂≥2 olduğu tespitini yapmıştık
m₄≥2.m₂≥2²
m₆≥2³
...
m₂₂≥2¹¹=2048 , bu ise sayılarımızın 2013 ten büyük olmamasıyla çelişir


21 elemanlı
M={1,2,2²,2³,2⁴,...,2¹⁰}U{3,3.2,3.2²,3.2³,...,3.2⁹} kümesine baktığımızda seçilecek 3 elemandan 2 tanesi bileşkeye giren kümelerden birine düşecektir. aynı küme içinde her eleman birbirini böldüğünden istenen sağlanacaktır yani sorunun cevabı 21 olur.