(k³)!

(k³)! sayısının (k!)^k²+k+1 ile tam bölündüğünü gösteriniz

Sayılar teorisine mi girdik Sabri hocam? :)

sayılar teorisi ve sonlu matematik en sevdiğim iki konudur

"34!=6^a.b eşitliğinde a en fazla kaç olur?" şeklinde sorulan sorularda
6=3.2 olduğundan 34 içinde kaç tane 3 olduğunu bulmak için zincir bölmesi ile cevabı buluyorduk.
Bu soruda da (k³)! içinde k kaç tane vardır diye bulmak istediğimizde zincir bölmesi yapıp bölümleri topladığımızda toplam k²+k+1 oluyor. Yani
k^k²+k+1 in, (k³)! i tam böldüğünü ispat etmiş oluruz ama bu, (k!)^k²+k+1 in , (k³)! i tam böldüğünü göstermek için yeterli olacağını zannetmiyorum. Muhtemelen bir iki cümle daha eklemek gerekiyor ama onu bulamadım. Benden bu kadar.

hocam siz zincir bölmesi yaptığınızda k^k²+k+1 ile bölündüğünü göstermiş olursunuz ki bu da k nın asal olmasıyla da yakında ilgilidir mesela 10 için 5 ile zincir bölmesi yapıyorsunuz.
soruda bizden k^k²+k+1 değil (k!)^k²+k+1 ile tam bölündüğünü göstermemiz isteniyor. yani zincir bölmesini ya k! üstünden yapmalıyız ki bu da farklı sonuçlar doğuracaktır ya da başka çözüm yolları üretmemiz gerekecek.

Bence bu sorunun, %80 nini çözüyor ama k dan küçük sayıların da aynı sonucunu nasıl gösterilebileceğini bulamadım. Ayrıca ben burada k yı asal olarak düşünmedim. Bu sonuç her k doğal sayısı için geçerlidir.

hocam şimdi şöyle düşünelim
k=27 olsun , siz k sayısına bölerken 27^27²+27+1 e bölündüğünü göstermiş oluyosunuz burada bir sıkıntı yok ama , bu işlemi yaparlen 18 sayısının içndeki 9 lar için gereken 3 leri de kullanmış olabilirsiniz, yani böyle bir ispat yaptığınızda soru bence oldukça açık kalır ki açıklığın oldukçası , azı , fazlası olmaz . soru çözümlenmemiş olur nihayetinde.

Ben tam ispat yapmadığımı söyledim zaten, sadece ispat yolunun ya da çıkış yolunun bu olduğunu düşünüyorum demek istedim. k dan küçükler için de aynı şey yapılabilirse ispat tamamlanmış olur.

soru tam çözümlenmedi , yeterince zaman da geçti daha fazla durmasına değecek kadar güzel bir soru da değil bu yüzden bir çözüm yazıp üstünü örtelim;

a ve b tamsayıları için
ab! incelendiğinde
bu sayının her zaman (a!)^b.b! ile tam bölündüğü görülür.
(ardışık n sayının çarpımının her zaman n! e bölünmesinden faydalanarak gösterilebilinir ya da a.b kişiyi düz bir sıraya dizme sayısını hesaplarken ab yi a kişilik parçalar halinde sıraya dizerek her bir parçanın tamsayı olmasından faydalanarak da gösterilebilinir)

k³=k².k şeklinde yazıp a=k² ve b=k için yukarıdaki özellikten faydalanırsak

(k²!)^k.k! sayısı k³! i her zaman böler

k²=k.k olarak ayrılıp aynı özellikten faydalandığımızda k!^k.k! in yani k!^k+1 in k²! i her zaman böçldüğü görülür.

sonuçta ((k!)^k+1)^k.k! sayısı yani (k!)^k²+k+1 sayısı k³! i her zaman böler.

MatematikciFM'den alıntı:

"34!=6^a.b eşitliğinde a en fazla kaç olur?" şeklinde sorulan sorularda
6=3.2 olduğundan 34 içinde kaç tane 3 olduğunu bulmak için zincir bölmesi ile cevabı buluyorduk.
Bu soruda da (k³)! içinde k kaç tane vardır diye bulmak istediğimizde zincir bölmesi yapıp bölümleri topladığımızda toplam k²+k+1 oluyor. Yani
k^k²+k+1 in, (k³)! i tam böldüğünü ispat etmiş oluruz ama bu, (k!)^k²+k+1 in , (k³)! i tam böldüğünü göstermek için yeterli olacağını zannetmiyorum. Muhtemelen bir iki cümle daha eklemek gerekiyor ama onu bulamadım. Benden bu kadar.

Devamı olarak;
"a , c yi böler, b de c yi bölerse a.b de c yi böler."
"a, b yi bölüyorsa; a nın her çarpanı da b yi böler."

sonuçlarını kullanarak,
k dan küçük olan her sayı için zincir bölmesi yapıp topladığımızda, toplam daima, k²+k+1 den büyük olmak zorundadır. O zaman k ve k dan küçük her sayının k²+k+1 inci kuvveti,
(k³)! i tam böler.
1. sonuç gereğince,
(k!)^k²+k+1, (k³)! i tam böler.

a|c ve b|c verilerinden ab|c yi elde etmek için ebob(a,b)=1 olması gerekir.