1. sorum, n=3,4,5.. nⁿ⁺¹ > (n+1)ⁿ olduğunu ispatlayınız.

2.sorum , n=2,3.. (2n)! < 2²ⁿ (n!)² olduğunu ispatlayınız.

3. sorum, 3ⁿ+4ⁿ≤5ⁿ olduğunu ispatlayınız. Her n€N2 yani n=2,3....

İlginiz için teşekkürler saygı değer hocalarım.

1.
her iki tarafı nⁿ e bölersek
n >? ((n+1)/n)ⁿ=(1+1/n)ⁿ bu ifade de her zaman e sayısından yani yaklaşık olarak 2,71 den küçüktür (ispatına gerek yok sanırım ama gerekirse önceden forumda yaptık diye hatırlıyorum)

2.
n=2 için 4!<2⁴.(2!)² doğru
n=k için (2k)!<2^2k.(k!)² olsun
n=k+1 için (2k+2)!=2k!.(2k+1).(2k+2)<2^2k.(k!)².(2k+1).(2k+2)<2^2k.(k!)².(2k+2).(2k+2)=2^2k+2.((k+1)!)² .

3.
n=2 için 3²+4²≤5²
n=k için 3^k+4^k≤5^k olsun
n=k+1 için 3^k+1+4^k+1=3.3^k+4.4^k<4.3^k+4.4^k≤4.5^k<5.5^k=5^k+1 .

hocam ikinci soruda k+1 den sonrasını biraz açıklayabilir misiniz ? eşitsizlikler arka arkaya olduğu için biraz kafam karıştı, teşekkürler. Birde, 3. soru da her ikitarafı 4 ile çarptık sanırım ama işaret küçük sonrada küçük eşittir falan oldu zaten küçük eşittirdi ama arka arkaya olunca biraz karıştı hocam bende, biraz anlatabilirseniz çok sevinirim, teşekkürler

2.
n=k+1 için (2k+2)!<2^2k+2.((k+1)!)² gibi bişey elde etmemiz lazım
(2k+2)!=(2k)!.(2k+1).(2k+2) dir
bir önceki tümevarım adımından (2k)!<2^2k.(k!)² olduğunu biliyoruz
yani
(2k+2)!=(2k)!.(2k+1).(2k+2)<2^2k.(k!)².(2k+1).(2k+2)

ayrıca sondaki (2k+1).(2k+2)<(2k+2).(2k+2)=2².(k+1)²
yani (2k+2)!<2^2k.(k!)².2².(k+1)²=2^2k+2.((k+1)!)² istenen elde edilmiş oldu


3.
ilk önce (k+1) olan kuvvetlerin 1 tanesini açtık ve onların k lı kuvvetlerin 4 katından küçük olduğunu gösterdik. ardından sağ tarafın k+1 li kuvvetinin de zaten 4 değil 5 katı olmasından bundan daha da büyük olduğunu söyledik ve ispatı tamamladık.

---------------------------------------------

tümevarım sorularını değil de tam olarak ne demek istediğini , nasıl çalıştığını daha iyi öğrenmenizde fayda var yoksa bu soruların çözümünü bilmeniz veya bilmemeniz çok önemli şeyler değil.