merhaba sorularım şunlar,

1. 12ⁿ+10 un 11 ile tam bölünebildiğini ispatlayınız.

2. Her n€N için 1+11+111+1111+...+(n tane 1)=(10ⁿ⁺¹-9n-10)/81 olduğunu ispatlayınız.

3. Her n€N için (3/2)ⁿ≥n olduğunu ispatlayınız.

4. Her n>4 doğal sayısı için 3^n-1<n! olduğunu ispatlayınız.

Şimdiden teşekkürler. Tek bir konu altında dört soru sordum saygı değer hocalarım umarım forum kurallarını ihlal etmemişimdir, şimdiden gösterdiğiniz ilgi için teşekkürler

1.
12ⁿ+10≡1ⁿ+10=11≡0 (mod 11)
yani bu ifade her n doğal sayısı için 11 ile bölünür.

2.
S_n=1+11+111+...+(n tane 1) olsun
9S_n=9+99+...+(n tane 9)
9S_n+n=9+99+...+(n tane 9)+n (bu n i her terime 1 olarak eklersek)
9S_n+n=10+100+...+10ⁿ=(10ⁿ⁺¹-10)/(10-1)
9S_n+n=(10ⁿ⁺¹-10)/9
9S_n=(10ⁿ⁺¹-10-9n)/9
S_n=(10ⁿ⁺¹-10-9n)/81

3.
n=1 için 3/2>1
n=k≥2 için (3/2)^k>k doğru olsun
n=k+1 için (3/2)^k+1=(3/2)^k.(3/2)>k.(3/2)=k+(k/2)≥k+1 .

4.
n=5 için 3⁴<5!
n=k>5 için 3^k-1<k! olsun
n=k+1 için 3^k+1-1=3^k-1.3<k!.3<k!.(k+1)=(k+1)!

hocam 4te niye en sonda k!'i (k+1) ile çarptık. 3. soruda aynı şekilde 3/2 ile çarpmamızın nedeni nedir her iki tarafı ve ondan sonraki k+(k/2)≥k+1 nasıl oldu anlayamadım ?

1. soruyuda açıklayabilir misiniz, neden 1 üzeri n dedik ve 11denk0 (mod11) nasıl oldu? son bir sorum daha var, 9Sn+n=(10n+1-10)/9 bundan sonra soldaki n nereye gitti ve sağdaki 9n' in n i nerden geldi ? şimdiden teşekkkürler

Alıntı:

---

ersann'den alıntı

hocam 4te niye en sonda k!'i (k+1) ile çarptık. 3. soruda aynı şekilde 3/2 ile çarpmamızın nedeni nedir her iki tarafı ve ondan sonraki k+(k/2)≥k+1 nasıl oldu anlayamadım ?

---

k! i k+1 ile çarpmamızın nedeni bize gerekli olan (k+1)! i elde etmek.
diğer soruda 3/2 ile çarpmıyoruz, 3/2 çarpanlarından bi tanesini ayırıyoruz. bir önceki tümevarım adımında (3/2)^k için yaptığımız kabulü yerine yazıyoruz. elimizde k.(3/2) gibi bişey oluyor. k.(3/2)= k+(k/2) , k sayısı da 2 den büyük eşit olduğundan bu ifade k+1 den büyük olmuş oluyor ispat tamamlanıyor.

Alıntı:

---

ersann'den alıntı

1. soruyuda açıklayabilir misiniz, neden 1 üzeri n dedik ve 11denk0 (mod11) nasıl oldu? son bir sorum daha var, 9Sn+n=(10n+1-10)/9 bundan sonra soldaki n nereye gitti ve sağdaki 9n' in n i nerden geldi ? şimdiden teşekkkürler

---

modüler aritmetikte bir sayı yerine onun denklik sınıfından başka bir sayı yazabiliyorduk. 12 ile 1 sayıları 11 modunda denk olduklarından birbirlerinin yerine yazılabilir.
1^n her zaman 1 dir. sonuçta 10 fazlası da 11 ile bölünmüş olur.
n eşitliğin diğer tarafına atılıyor. payda eşitlenince de -9n olmuş oluyor.

hocam çok teşekkürler ilgiliniz için, sağolun

hocam çok özür dilerim 3. soruda n= k neden büyük eşit 2 oldu onuda açıklayabilirseniz size zahmet, bu konudaki son sorumda gözümden kaçtı, teşekkürler

n=1 adımında doğruluğu gördük ardından n>=2 için duruma geçtik , dolayısıyla artık n sayısının yarısı 1 den hep büyük eşit