Formulün Mantığı ne?

Merhaba arkadaşlar. Bende, bu sitedeki bir çok kişi gibi matematiği seven biriyim. Matematik formüllerinin üzerine gidip, mantığını anlamakta hoşuma giden bir şey. Tabi mantığı anlayamadığım zaman sinir bozucu olsada. Bu yüzden böyle bir konu açmayı düşündüm. Bazı formüllerin mantığını anlayabilmek için.

Kafama takılanlardan biri dizilerle ilgili.

(an)= (a.n+b)/(c.n+d)

ise;

''Paydanın kökü birden büyükse dizi monoton değildir.''

Bunun nedenini çözemedim. Birde onun hemen ardından gelen şu formül var;

''a.d-b.c''

Bu formül sanırım bize artış miktarını veriyor. Artış miktarı 1'den büyükse monoton artan, değilse monoton azalan gibi. Ama formüldeki mantığı çözemedim. Bulanlar bir şekilde bulmuş bu formülleri, bir mantık illaki var altında. Bilen biri var mı?

Konuyu doğru yere mi açtım emin değilim. Ama başlıklarda en uygun yer bura gibi geldi bana. Kafamıza takılan formülleri buradan yazıp, onlara çözüm getirebiliriz diye düşünüyorum.

Teşekkürler.

a_n=

an+b

cn+d

dizisi için

a_n+1-a_n=

an+a+b

cn+c+d

-

an+b

cn+d

=

ad-bc

(cn+d)(cn+c+d)

olduğunu görebilirsiniz. Şimdi dizinin paydasının kökü 1 den küçükse yani cn+d ifadesi n≥1 için sıfır olmuyorsa cn+d ve cn+c+d ifadelerinin işareti her n≥1 için aynıdır. Dolayısıyla (cn+d)(cn+c+d) ifadesi her n≥1 için pozitiftir.

Şimdi ad-dc>0 ise a_n+1-a_n ifadesi sürekli pozitif olacaktır ki bu da her n≥1 için a_n+1>a_n yani a_n dizisinin monoton artan olduğunu söyler.

ad-dc<0 ise a_n+1-a_n ifadesi sürekli negatif olacaktır ki bu da her n≥1 için a_n+1<a_n yani a_n dizisinin monoton azalan olduğunu söyler.

Öte yandan bir dizi için cn+d ifadesinin kökünün bir pozitif tam sayı olmayacağı açıktır. Aksi halde a_n bir dizi olmaz. Eğer kök birden büyük bir x₀ sayısı olursa, x₀ a kadarki bütün n sayıları için a_n+1-a_n ifadesi potizif (veya negatif) ise x₀ dan sonraki bütün n sayıları için a_n+1-a_n ifadesi negatif (veya pozitif) tir. Yani x₀'a kadar dizinin terimleri artıyorsa, x₀'dan sonra azalmaya başlar. Ya da x₀'a kadar dizinin terimleri azalıyorsa x₀'dan sonra artmaya başlar.

Özetle, paydanın kökü birden büyük bir sayı ise dizi monoton değildir.

İşin başka yönleri de var ama kafanızı karıştırmak istemediğim için şimdilik bununla sınırlıyorum. Umarım açıklayıcı olmuştur.

Oldukça açıklayıcı ve temiz bir anlatım olmuş. Yeni bir şey daha öğrenmiş oldum. Zaman ayırıp bu açıklamayı yaptığınız için çok teşekkür ederim.

Sizin gibi matematik sevdalısı ve öğrenme isteklisi insanlara bize anlatılanları ya da öğrendiklerimizi aktarmaktan zevk duyarım.