Bir denklem sorusu

1≤a,b,c≤100 koşulunu ve

(a+b)c=10a²
c²=ab

denklem sistemini sağlayan kaç (a,b,c) tam sayı üçlüsü vardır ?

(a+b)².c²=(10a²)²
(a+b)².ab=(10a²)²
(a+b)².b=100a³ , b=k.a olsa
(1+k)².k=100
k³+2k²+k-100=0 , k=4 bu denklemin bir kökü (k-4) ile bölersek
k²+6k+25=0 , bunun da reel kökü yok

yani b=4a ve dolayısıyla c=2a bu denklemin kökleri oluyor.
a=1,2,...,25 olmak üzere 25 kökü oluyor olması lazım.

Evet cevap 25.
(a+b)².b=100a³ ise b a'nın katı mı olmalıdır ?

hayır katı olmasına göre çözmedik , sadece b=a.k olsun dedik ya da k=b/a şeklinde tanımladık , k reel

gereksizyorumcu'den alıntı:

hayır katı olmasına göre çözmedik , sadece b=a.k olsun dedik ya da k=b/a şeklinde tanımladık , k reel

Doğru, teşekkür ederim :)

alternatif çözüm:
c²=ab verilmiş o halde sırasıyla a , c , b geometrik seri oluşturur buradan c=ar ve b=ar² olarak görürsek
(a+b)c=10a²
(a+ar)ar²=10a²
(1+r²)r=10
r=2 kolayca görülüyor demekki sayılar a , 2a , 4a
maximum {4a } 100 ise
maximum {a} 25

Teşekkür ederim öğretmenim.:)