1)

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

ifadesinin en küçük değeri nedir?

2)0<a<b reel sayıları için , √b²-a²+√2ab-a²>b olduğunu gösteriniz.

3)

1

15

<

1

2

.

3

4

......

97

98

.

99

100

<

1

10

olduğunu gösteriniz.

1.
genelliği bozmadan a>=b>=c denilip
chebyshev yazılırsa
3S>=(a+b+c).(1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c))=S+3
S>=3/2 , hepsi eşitken de bu değerin alındığını görüyoruz yani alt sınır bu.

2.
hipotenüsü b=a+c , dik kenarlarından biri a olan bir dik üçgen çizilirse
dik kenarlar toplamı>hipotenüs (üçgen eşitsizliği)
birebir bunu sormuş.

3.
diğerleri gibi kolay gözükmüyor, belki kolaydır ama ilk bakışta bişey gözükmedi. kağıt stoğu olan bir mekanda ve uygun bi zamanda tekrar bakmaya çalışayım.

1. sorudaki ifade zaten birebir Nesbitt eşitsizliği

a,b,c >0 için Nesbitt eşitsizliği;

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

≥ 3/2

3)

k

k+1

<

k+1

k+2

işe yarayabilir sanki

3)

1

2

.

3

4

......

97

98

.

99

100

bu ifadeye A diyelim

2

3

.

4

5

......

98

99

.

99

100

bu ifadeyede B diyelim

bir önceki mesajda yazdığım eşitsizlikten
A < B

A² < A.B

A² < (1/100).(99/100)

A²< 1/100

A < 1/10

elinize sağlık hocam
görünüşe göre baştaki 1/2 çarpanını çıkartıp geri kalan için de (k-1)/k şeklinde bir çarpım oluşturursak da A²>1/200 bulunuyor. bu da yeterli zaten.

daha keskin bişeyler olması gerektiğini düşünmüştüm , gamma fonksiyonu falanla bu işlemin değeri 1/kök(pi*n) gibi bişey oluyor (bu soru için n=50).

Teşekkür ederim :)