17'den büyük her doğal sayının 1'den büyük ve aralarında asal üç doğal sayının toplamı olarak yazılabileceğini ve böyle yazılamayan en büyük sayının da 17 olduğunu gösteriniz.
17'den büyük her doğal sayının 1'den büyük ve aralarında asal üç doğal sayının toplamı olarak yazılabileceğini ve böyle yazılamayan en büyük sayının da 17 olduğunu gösteriniz.
17 den büyük çift sayılar için kolay hemen gösterilir
x sayısı 17 den büyük çift sayı olsun bütün çift sayılar için şu üç
durum var ya x=6k ya x=6k+2 yada x=6k+4 şeklinde bir k sayısı var
o halde bu toplamları alınacak üç sayıdan biri çift diğer ikisi tek olmalı nedenikolay geçiyorum
bu üç sayıda çift olan a=2k b=2k+1 ve c=2k-1 alınırsa toplamda 6k
a=2k b=2k-1ve c=2k+3 alınırsa toplamda 6k+2
a=2k b=2k+1 ve c= 2k+3 alınırsa toplamda 6k+4
her üç durum içinde alınan a,b,c sayılarının hem birden büyük hemde aralarında asal oldukları kolayca görüyoruz bu kısımda geçiyorum:)
17 den büyük tekler için benzer işleri yapabilecek miyiz bi bakalım olursa paylaşırım
17 den büyük tek sayılara x diyelim üç formdaolabilir 6k-1 yada 6k+1 yada 6k+3
yine a,b,c sayılarının toplamı x olsun tek seçenek her üçüde tek sayı o halde
a =2k+1 ve b=2k+3 ve c=2k+7 alalım toplamda 6k+11=6(k+2)-1
a=2k+1 ve b=2k+3 ve c=2k+9 alalım toplamda 6k+13=6(k+2)+1
a=2k-1 ve b=2k+1 ve c=2k+3 alalım toplamda 6k+3
birkaç satır aralarında asal oldukları için yazalım
(2k+1 , 2k+9)=(2k+1 , 8)=1
(2k+3 , 2k+7)=(2k+3 , 4)=1
Çiftler için zaten sorun yok. (Hatta 10 ve daha büyük bütün çift sayılar böyle yazılabilir.) Tek sayılar için x=18n+r, r=1,3,..,17 şeklinde yazıp bulmuştum ama zaten çözümü yazmışsınız ellerinize sağlık.
Aslında geriye sadece 17 nin böyle yazılamayacağını göstermek kalıyor. O da sorun değildir ama yine de yazalım:
a<b<c için 17=a+b+c olsun. (a<5 olmalıdır: 5+6+7=18>17)
a=2 olursa b+c=15 olması gerektiğinden b veya c çifttir, olamaz.
a=3 olursa 3, b, 14-b sayıları buluruz. 3<b<7 ve b tek olmalıdır. (b çift olursa c de çift olur.) Bu durumda b=5 ve sayılar 3,5,9 olur, kabul edilmeyen durum.
a=4 olursa b+c=13 olmalı ve b veya c çift olmalı, kabul edilmeyen durum.
bu sorunun ömrü biraz kısa oldu :)
neyse artık önümüzdeki sorulara bakacağız. 3 puanlık sistemde herşey olabilir.