Ortogonal matris örneği

merhaba gene bir sorum olacak benim öncelikle bildiğimiz gibi ortogonal matrisin tanımı : A bir kare matris olmalı ve A matrisinin transpozu(devriği) a matrisinin tersine eşit ise A matrisine ortogonal matris diyoruz.

Bu tanım üzerinden yola çıkarak 2x2 lik yani 2 satır ve 2 sütundan oluşan bir matris örneği bulmam gerek uzun uğraşlar sonucu elde ettiğim tek matris 2 boyutta birim matris oldu. Eğer bu tanım sadece birim matris için geçerli bir şeyse neden buna bir de ortogonal matris deme gereği duyulsun ki ? Eğer birim matris dışında bir örnek verebilcek olursa yada konuya açıklık getirebilecek biri varsa çok sevinirim şimdiden teşekkürler.

Ortogonal matris bulmanızın çok yolu vardır. Derste nasıl gördünüz bilmiyorum ama birim matris bunlardan biri. A=[1/√2, 1/√2; 1/√2, -1/√2] matrisi 2x2 lik bir ortogonal matristir. Burada noktalı virgül satırları ayırmak için virgül ise elemanları ayırmak için kullanılmıştır.

mathematics21'den alıntı:

Ortogonal matris bulmanızın çok yolu vardır. Derste nasıl gördünüz bilmiyorum ama birim matris bunlardan biri. A=[1/√2, 1/√2; 1/√2, -1/√2] matrisi 2x2 lik bir ortogonal matristir. Burada noktalı virgül satırları ayırmak için virgül ise elemanları ayırmak için kullanılmıştır.

çok teşekkür ederim fakat köklü bir sayı olmadan örnek bulabilirmiyiz sadece merak ettim ?

A^T=A^-1 olduğundan A A^T=A^TA= I olmalıdır. (Bu da ortogonal matris için başka bir tanımdır.)

İsterseniz 2x2 boyutları küçük olduğu için bu koşulu sağlayan bütün matrisleri bulabilirsiniz.

A=[a, b; c, d] derseniz A^T=[a, c; b, d] dir.

A A^T=I eşitliğinden a,b,c,d için bir takım denklemler elde edebilirsiniz. Hatta bu denklemler

a²+b²=1
c²+d²=1
ac+bd=0 denklemleridir.

Bu üç denklemi sağlayan her a,b,c,d dörtlüsü için 2x2 lik bir ortogonal matris yazabilirsiniz.

Aslında A A^T= I koşulundan şu özelliklere varabilirsiniz:

A matrisi nxn lik bir matris ise A nın satırları (benzer şekilde sütunları) Rⁿ uzayı için ortonormal bir baz olurlar. Yani her satırdaki (benzer şekilde sütundaki) vektörün boyu 1 br ve farklı iki satırdaki vektörler (benzer şekilde farklı iki sütundaki vektörler) birbirine diktirler.

Köklü sayı olmayan da bulabilirsiniz. a,b,c,d için yazdığımız denklemlerden (veya ortonormal baz kısmından)

A=[3/5, 4/5; -4/5, 3/5]

matrisinin de ortogonal olduğunu görebilirsiniz.

A^T=A^-1 olduğundan A A^T=^ATA= I olmalıdır. (Bu da ortogonal matris için başka bir tanımdır.)

İsterseniz 2x2 boyutları küçük olduğu için bu koşulu sağlayan bütün matrisleri bulabilirsiniz.

A=[a, b; c, d] derseniz AT=[a, c; b, d] dir.

A AT=I eşitliğinden a,b,c,d için bir takım denklemler elde edebilirsiniz. Hatta bu denklemler

a²+b²=1
c²+d²=1
ab+cd=0 denklemleridir.



buraya kadar bende bulabilmiştim fakat örnek verme kısmında biraz aciz kaldım sanırım gerçekten çok teşekkür ederim hocam :)

Rica ederim. İyi çalışmalar.

hocam sanırım ufak bi düzeltme lazım orda ab+cd=0 demişsiniz ama orası ac+bd=0 olmalı yanlışmı ifade ediyorum acaba ?

Aslına bakarsanız aynı şeyler ama matrisleri yazdığımız şekliyle dediğiniz gibi çıkar.

teşekkür ederim hocam çok sağolun.

Yine de dediğiniz şekliyle yazmak daha yararlı olacaktır.

A=[cosx,sinx ; sinx,-cosx] de ortogonal bir matrisdir. Bir dik üçgende bir açının kosinüsü ve sinüsüyle böyle bir matris oluşturabilirsiniz. mesela 8-15-17 dik üçgeninde 8 in karşısındaki açı x olsun sinx=8/17 cosx=15/17 dir. öyleyse A=[15/17,8/17 ; 8/17,-15/17] ortogonal matrisdir.

sentetikgeo'den alıntı:

A=[cosx,sinx ; sinx,-cosx] de ortogonal bir matrisdir. Bir dik üçgende bir açının kosinüsü ve sinüsüyle böyle bir matris oluşturabilirsiniz. mesela 8-15-17 dik üçgeninde 8 in karşısındaki açı x olsun sinx=8/17 cosx=15/17 dir. öyleyse A=[15/17,8/17 ; 8/17,-15/17] ortogonal matrisdir.

onuda az önce bir örnek vermeye çalışırken fark etmiştim 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17,7-24-25, 20-21-29 gibi kombineli sayılardan yola çıkarak benzer türevde örnekler verebiliyoruz :)

:) :) :)