1) 2010'dan küçük pozitif tam sayılarınn kaç tanesinin rakamları toplamı 5'in katıdır?

2) Ondalık yazılımında ilk basamak ve son basamak hariç her basamağındaki rakamın sağ ve solundaki iki rakımın toplamına mod 5'de denk olduğu kaç tane 7 basamaklı sayı vardır?

3) 1^1!+2^2!+3^3!+...........+10^10! sayısının 11'e bölümünden kalan nedir ?

4) 51! sayısı kaç farklı şekilde 1'den çok ardışık sayının toplamı olarak yazılabilir?

1.
buna benzer soru çözmüştük
son basamağı görmeyiz ilk 3 basamak ne olursa olsun onları 5 modunda bölünür hale getirebilen tam olarak 2 rakam vardır (burada 5 modunun özelliği 10 u bölebiliyor olması 2,5,10 dan biri olabilirdi)
kısaca 201 den küçük bir sayı seçilirse ki böyle 200 sayı vardır onlara karşılık toplam 200.2=400 sayı yazılmış olur
ayrıca ilk 3 basamak 0 olduğunda sona 5 yazılabilir toplam 401 olması lazım

2.
ilk basamak a ikinci basamak b olsa
3. basamak 5 modunda bellidir (b-a) ve 5 modunda (b-a) ya karşılık gelen tam 2 tane rakam vardır
a için 9 tane b içinse 10 tane rakam seçilebileceğinden
cevap 9.10.2.2.2.2.2=32.90=2880 bulunur

3.
11 asal olduğundan fermattan (x,11)=1 ken x¹⁰=1 (mod11)
öyleyse 5 ve sonrası için tüm sayılar 1 e denktir.
=1¹+2²+3⁶+4²⁴+1+1+1+1+1+1
=1+4+729+4⁴+6
=729+256
=7-2+9+2-5+6=6 (mod11)

4.
(pozitif demediği için negatif sayıların da kullanılabileceğini varsayıyoruz)

i)ardışık sayıların sayısı tek olsun = 2n+1
bu durumda ortanca sayı vardır (tamsayıdır) bu x olsun
(x-n)+(x-n+1)+...+x+...+(x+n)=(2n+1).x=51! olur.
2n+1 in belirlenmesi istenileni sağlamak için gerek ve yeter koşuldur
51! in tek sayı bölenlerinin sayısı kadar böyle yazım vardır
51!=3²³.5¹².7⁸.11⁴.13³.17³.19².23².29¹.31¹.37¹.41¹.43¹.47¹.2^k olduğundan
24.13.9.5.4.4.3.3.2⁶ tane tek böleni vardır , 1 işimize yaramaz çünkü 1 den fazla ardışık demiş yani 2n+1=1 istenmeyen bir durum
buradan toplam 24.13.9.5.4.4.3.3.2⁶-1 durum gelir

ii)ardışık sayıların sayısı çift olduğunda 2n
ortadaki iki sayı x ve x+1 olsa
(x-n+1)+...+x+(x+1)+...+(x+n)=(2x+1).n=51! bulunur yani yine 2x+1 leri belirlemek yetecektir
buradan da 24.13.9.5.4.4.3.3.2⁶ durum gelir
bu ortadaki iki sayıyı belirlediğinden elememiz gereken bi durum oluşmaz (zaten bunlar bir önceki adımda bulduğumuz dizilerin başına ortasında 0 olan ve toplamları da 0 olan sayı gruplarını bitiştirmekten başka bişey değil)

sonuçta istenen durumların sayısı
24.13.9.5.4.4.3.3.2⁷-1 bulunur

not:asal sayılarda ve kuvvetlerinde yanlışlık olup olmadığını kontrol etmenizde fayda var
not2: özel soru çözdürmenin ücretli olduğunu unutmayınız. her özel soru başına forumda sorulan 5 soruyu cevaplamanız gerekmekte :)

Çok teşekkür ederim :)