Farklı boylarda 17 kişi yanyana dizilmiş olsun,Bunlardan n tanesi artan ya da azalan boy sırasında kalacak şekilde geri kalanlar sıradan uzaklaştırılıyor. Bu diziliş ne olursa olsun, böyle bir işlemi olanaklı kılan en büyük n sayısı nedir?
Yazdırılabilir görünüm
Farklı boylarda 17 kişi yanyana dizilmiş olsun,Bunlardan n tanesi artan ya da azalan boy sırasında kalacak şekilde geri kalanlar sıradan uzaklaştırılıyor. Bu diziliş ne olursa olsun, böyle bir işlemi olanaklı kılan en büyük n sayısı nedir?
2 kişi
cevap 5 diyor hocam
Çözüm nasıl olabilir ?
duygu95'den alıntı:Çözüm nasıl olabilir ?
buna benzer bir soruyu 17 değilde 5 kişi için görmüştüm, oradaki çözümü neredeyse hatırlıyorum ama o hatırladığım çözümün 17 kişiye uygulanması imkansız. şu an bi çözüm bulamadım ama sanki çözümü tümevarımla yapılcakmış gibi geliyor.
bir sıkıntı var 5 kişiden az olamayacağını göstermek bu soruyu çözmez, 6 kişi veya daha fazlası için olamayacağının yagösterilmesi ya da 6 için olmayan bir örneğin bulunması gerekir bu da zor gibi duruyor.
lafın kısası bu soru sanki biraz zor, salim kafayla düşünmek lazım :)
Duygu95, bu sorunun cevabının 5 olduğuna emin misiniz?
Ben 6 buldum galiba.
Hocam cevap anahtarı 5 diyor ama hatalı olabilir. birkaç soruda böyleydi siz nasıl buldunuz hocam ?
cevabımdan emin değilim. 5 in kesin doğru olduğunu öğrenmek istedim. Bir ara çözümümü yazarım.
Bu soru cevapsız kaldı..
duygu95'den alıntı:Bu soru cevapsız kaldı..
:) bu soru sürekli aklımda, güzel soruymuş. cevabı 5 olacak ama bir türlü toparlayıp güzel bir çözüm haline getiremiyorum
6 için olmayan bir örnek bulunması yeterli oluyorsa şöyle bir diziliş yapabiliriz.gereksizyorumcu'den alıntı:buna benzer bir soruyu 17 değilde 5 kişi için görmüştüm, oradaki çözümü neredeyse hatırlıyorum ama o hatırladığım çözümün 17 kişiye uygulanması imkansız. şu an bi çözüm bulamadım ama sanki çözümü tümevarımla yapılcakmış gibi geliyor.
bir sıkıntı var 5 kişiden az olamayacağını göstermek bu soruyu çözmez, 6 kişi veya daha fazlası için olamayacağının yagösterilmesi ya da 6 için olmayan bir örneğin bulunması gerekir bu da zor gibi duruyor.
lafın kısası bu soru sanki biraz zor, salim kafayla düşünmek lazım :)
17 kişinin boylarının uzunluklarını birbirinden farklı olduğundan 1,2,3,...,16,17 şeklinde sayılarla kabul edip bunları
5,4,3,2,1,10,9,8,7,6,15,14,13,12,11,17,16 şeklinde dizersek burada nasıl bir siliniş yaparsanız yapın 6 tane artan yada azalan bir sıralanış olmaz
5 tane olduğu gayet açık o halde n en fazla 5 olabilir.
tam emin olmamakla beraber şöyle bir sonuç buldum;
(sınırlar dahil olmak üzere)
kişi sayısı 2 ile 4 arasındaysa, cevap 2 olur. (en az 2 kişi büyükten küçüğe yada küçükten büyüğe doğrudur.)
kişi sayısı 5 ile 9 arasındaysa cevap 3 olur.
kişi sayısı 10 ile 13 arasındaysa cevap 4 olur.
kişi sayısı 14 ile 18 arasındaysa cevap 5 olur.
kişi sayısı 17 olduğu için cevap 5 olacaktır.
yalnız burda emin olmak için sizden biraz yardım talep edeceğim, benim çözümüme göre kişi sayı 18 olsa bile cevap 5 olacaktır.
hatta 14 kişi olsa bile cevap 5 olacaktır.
örneğin 14 kişi için şartı sağlayan 4 kişi olduğunu gösterebilirmiyiz.benim iddam nasıl dizilirse dizilsin 14 kişi için cevap 5dir, yani 14 kişi arasından en az 5 kişi ya küçükten büyeğe yada büyükten küçüğe doğrudur.
bu konuda biraz düşünürseniz yada fikrinizi paylaşırsanız sevinirim, ben tekrar soru üzerinde düşünmeye devam ediyorum
Bu çözüm bana mantıklı geldi.aerturk39'den alıntı:6 için olmayan bir örnek bulunması yeterli oluyorsa şöyle bir diziliş yapabiliriz.
17 kişinin boylarının uzunluklarını birbirinden farklı olduğundan 1,2,3,...,16,17 şeklinde sayılarla kabul edip bunları
5,4,3,2,1,10,9,8,7,6,15,14,13,12,11,17,16 şeklinde dizersek burada nasıl bir siliniş yaparsanız yapın 6 tane artan yada azalan bir sıralanış olmaz
5 tane olduğu gayet açık o halde n en fazla 5 olabilir.
bu dizilim sadece bir örnek,bence geneli yansıtmıyor. başka bir dizilimde cevabın 4 olmayacağını göstermedik ki. sadece bu örneğe bakarak cevabın 4 olmadığını söylememiz mümkün değil bence
Zaten en fazla 5 olabileceğinin ispatı bu.
cevabı en fazla 5 değil ki 17 bile olabir.
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,17,16 dizisi için cevap 16 olur.
cevabın 5 olduğunu öğrendikten sonra cevabı 5 olan bir dizilim vermek bence ispat değil,
ya duygu cevap 6 deseydi o zaman cevabın 6 olduğu bir dizilim verip konuyu kapatacakmıydık? ki cevabın 5 olabileceğini aerturk hocamız verdiği örnekle ispatlamış oldu. ama cevabın 4 olamayacağını ispatlamadık ki, ispat tamamlanmış olsun
6 diyemezdi çünkü bu örnek 6 nın olamayacağını gösteriyor zaten.
5 kişinin olduğunu göstermek için 17! tane farklı durumu tek tek yazıp, en fazla 5 olduğunu göstermekten başka çare kalmıyor. 4 olamayacağı değil, 5 olamayacağının ispatının yapılabilmesi lazım. Çünkü 4, 5 ten daha küçük.
14 kişi için cevap 5 olur ifadeniz yanlıştır.paradoks12'den alıntı:tam emin olmamakla beraber şöyle bir sonuç buldum;
(sınırlar dahil olmak üzere)
kişi sayısı 2 ile 4 arasındaysa, cevap 2 olur. (en az 2 kişi büyükten küçüğe yada küçükten büyüğe doğrudur.)
kişi sayısı 5 ile 9 arasındaysa cevap 3 olur.
kişi sayısı 10 ile 13 arasındaysa cevap 4 olur.
kişi sayısı 14 ile 18 arasındaysa cevap 5 olur.
kişi sayısı 17 olduğu için cevap 5 olacaktır.
yalnız burda emin olmak için sizden biraz yardım talep edeceğim, benim çözümüme göre kişi sayı 18 olsa bile cevap 5 olacaktır.
hatta 14 kişi olsa bile cevap 5 olacaktır.
örneğin 14 kişi için şartı sağlayan 4 kişi olduğunu gösterebilirmiyiz.benim iddam nasıl dizilirse dizilsin 14 kişi için cevap 5dir, yani 14 kişi arasından en az 5 kişi ya küçükten büyeğe yada büyükten küçüğe doğrudur.
bu konuda biraz düşünürseniz yada fikrinizi paylaşırsanız sevinirim, ben tekrar soru üzerinde düşünmeye devam ediyorum
yine 14 kişinin boy sıralarını 1,2,3,...,13,14 alalım bu dizilişi
13,14,9,10,11,12,5,6,7,8,1,2,3,4 şeklinde yaparsak bu dizilişte istediğiniz şekilde 9 tane sayı silin kesinlikle geriye kalan 5 kişiden artan yada azalan bir boy sıralaması yapamazsınız
yazdığınız aralıklardan
2-4 aralığında cevap 2 (doğru)
5-9 aralığında cevap 3 (doğru)
fakat bundan sonrası için
10-16 aralığında cevap 4 olacak yani 14,15,16 kişilik gruplar için 5 kişilik artan yada azalan olmayan örnekler verebilirim.
cevabın 4 olamayacağını ispatlamaya çalışayım
şimdi biran en büyük n sayısının 4 olacağını düşünelim o halde 13 eleman silince artan olan A=(a,b,c,d) yada 13 eleman silince azalan olacak şekilde B=(x,y,z,t) şeklinde iki diziliş kümesi bulunması gerekir.bu A ve B kümeleriyle 4 er elemanları olduğundan 4.4=16 tane ikili yapılır 17>16 olduğundan artan bu elemanı yerleştirdiğimizde artan yada azalan 5 elemanlı bir diziliş olur. buda bizim en fazla 4 olur kabulümüzle çelişki yarattı
6 dan az olduğunu göstermiştik -en fazla 4 kabulümüzdede 5 li olacağı ortaya çıktı
o halde n en fazla 5 olmak zorundadır
[QUOTE=aerturk39;yazdığınız aralıklardan
10-16 aralığında cevap 4 olacak yani 14,15,16 kişilik gruplar için 5 kişilik artan yada azalan olmayan örnekler verebilirim.
[/QUOTE]
işte bu konuda yardımım siteniştim, çünkü ben 14-15-16-17-18 olduğunda 5 olacağını iddaa ettim daha doğrusu 4 olamayacağını savunuyorum, bunun aksini gösteren bir örnek verirseniz çok sevinirim, belkide yanlış düşündüğüm noktayı daha iyi görürüm,
örneğin 14 için cevabın 4 olduğu bir dizilim gösterirseniz, tüm düşüncelerim değişecektir. ve buna memnunda olurum, şimdiden teşekkürler
bir önceki mesajımda sorularınızı yanıtlayacak değişikliklerle 17 için n sayısının en çok 5 olacağına dair ispat ekledim tekrar bir önceki mesajı okursanız sevinirim.
14 için cevabın 4 olduğu diziliş istediniz bunu biraz açarsanız iyi olur ne istediğinizi tam anlamadım
(5 olamayacağını zaten örnekle bir önceki mesajda gösterdim)
Bu da mantıklı geldi bana öğretmenim. Beyninize sağlık.aerturk39'den alıntı:
cevabın 4 olamayacağını ispatlamaya çalışayım
şimdi biran en büyük n sayısının 4 olacağını düşünelim o halde 13 eleman silince artan olan A=(a,b,c,d) yada 13 eleman silince azalan olacak şekilde B=(x,y,z,t) şeklinde iki diziliş kümesi bulunması gerekir.bu A ve B kümeleriyle 4 er elemanları olduğundan 4.4=16 tane ikili yapılır 17>16 olduğundan artan bu elemanı yerleştirdiğimizde artan yada azalan 5 elemanlı bir diziliş olur. buda bizim en fazla 4 olur kabulümüzle çelişki yarattı
6 dan az olduğunu göstermiştik -en fazla 4 kabulümüzdede 5 li olacağı ortaya çıktı
o halde n en fazla 5 olmak zorundadır
birde ispatınızı anlayamadım, lütfen kusura bakmayın biliyorum benden kaynaklanıyor, çünkü şuanda kendi fikirlerimle aşırı bir şekilde doluyum o yüzden sizin çözme çok fazla odaklanamadım, önceklikle yukarda demişsiniz örnek verebilirim diye, bu örneği görürsem rahatlayabilir ve bakış açımı ancak o şekilde değiştirebilirimaerturk39'den alıntı:14 kişi için cevap 5 olur ifadeniz yanlıştır.
yine 14 kişinin boy sıralarını 1,2,3,...,13,14 alalım bu dizilişi
13,14,9,10,11,12,5,6,7,8,1,2,3,4 şeklinde yaparsak bu dizilişte istediğiniz şekilde 9 tane sayı silin kesinlikle geriye kalan 5 kişiden artan yada azalan bir boy sıralaması yapamazsınız
yazdığınız aralıklardan
2-4 aralığında cevap 2 (doğru)
5-9 aralığında cevap 3 (doğru)
fakat bundan sonrası için
10-16 aralığında cevap 4 olacak yani 14,15,16 kişilik gruplar için 5 kişilik artan yada azalan olmayan örnekler verebilirim.
cevabın 4 olamayacağını ispatlamaya çalışayım
şimdi biran en büyük n sayısının 4 olacağını düşünelim o halde 13 eleman silince artan olan A=(a,b,c,d) yada 13 eleman silince azalan olacak şekilde B=(x,y,z,t) şeklinde iki diziliş kümesi bulunması gerekir.bu A ve B kümeleriyle 4 er elemanları olduğundan 4.4=16 tane ikili yapılır 17>16 olduğundan artan bu elemanı yerleştirdiğimizde artan yada azalan 5 elemanlı bir diziliş olur. buda bizim en fazla 4 olur kabulümüzle çelişki yarattı
6 dan az olduğunu göstermiştik -en fazla 4 kabulümüzdede 5 li olacağı ortaya çıktı
o halde n en fazla 5 olmak zorundadır
bu örneği hocamızın 6 kişiye verdiği örnekten derleyebilirsniz hocam. sanırım o örnek her sayı için uygun
o örneği 16 ya uyarlarsak
4-3-2-1-8-7-6-5-12-11-10-9-16-15-14-13
burada 5 lik bir dizi bulunamaz çünkü her 4 lük parçanın en fazla 1 tanesi işimize yarıyor.
Ben bu soruda şunu merak ediyorum. Bu soruda cevabın 5 olduğu bilinmeseydi, 5 olduğu bulunabilir miydi? Öğretmenimizin çözümü, 5 cevabı için üretilmiş bir çözüm. Cevap bilinmeden bu sayıyı öngörmek mümkün olur mu?
çok teşekkürler hocam, şimdi tatmin oldum. kısacası hatalı olduğumu açık ve net bir şekilde görmüş oldumgereksizyorumcu'den alıntı:bu örneği hocamızın 6 kişiye verdiği örnekten derleyebilirsniz hocam. sanırım o örnek her sayı için uygun
o örneği 16 ya uyarlarsak
4-3-2-1-8-7-6-5-12-11-10-9-16-15-14-13
burada 5 lik bir dizi bulunamaz çünkü her 4 lük parçanın en fazla 1 tanesi işimize yarıyor.
bu dizilimi en mükemmel yani işimizi en çok zorlaştıran dizilim kabul edersek;
iki kişi varsa en az ikisi ya küçükten büyüğe yada büyükten küçüğe doğrudurdan yola çıkarsak;
2+2=4 olduğundan kişi sayısı 2-4 arasında ise cevap 2 olur.
yeni bir kişi eklenince cevap 5 olmak zorundadır, cevabın 3 olduğu üst sınır için;
3+3+3=9
yeni bir kişi eklenirse cevap 4 olacaktır, 4 ün üst sınırınıda bulalım;
4+4+4+4=16
yeni bir kişi eklenirse cevap 5 olacaktır, 5 in üst sınırını bulalım;
5+5+5+5+5=25 olur.
yani kısacası;
kişi sayısı 2-4 arası cevap 2
kişi sayısı 5-9 arası cevap 3
kişi sayısı 10-16 arası cevap 4
kişi sayısı 17-25 arası cevap 5
.
.
.
diyebiliriz miyiz?
eğer bu dizilimi dediğiniz gibi kabul edersek evet diyebiliriz ama bu dizilimin dediğiniz şekilde bir dizilim olduğunu söylemek başlı başına ayrı bir problem :)
tabi bişey var ki bunların tersi de aerturk hocamızın göstrdiği şekilde ispatlandığı için dediğiniz sınırlar bence de doğru gibi duruyor
ben başta en mükemmel dizlim olarak başka bir dizilim tarzı seçmiştim o yüzden sınırları farklı farklı çıkmıştı (ki zaten bunun en mükemmel dizilim olduğu konusunda şüphelerim vardı zaten onuda yazdığım ilk mesajda dile getirip yardımlarınızı istemiştim)
aslında bu problemin çözümü için tam olarak en mükemmel dizilim tarzı budur diyebildiğimiz bir ispat ekleyebilirsek, gerisi basit bir örüntü olmuş oluyor, yani kişi sayısı 100 bile olsa cevap kolayca bulunmuş olacak. neyse sizi yordum herkesden özür dilyor ve teşekkür ediyorum
o zaman hemen yeni soru bulalım , maksat boş durmamak
Üzerinden yarın itibariyle bir yıl geçmiş bir konuya cevap yazmak sizleri heyecanlandırır mı bilmiyorum ama şöyle bir şey yazayım:
reel sayılardan seçilen n²+1 sayının her hangi bir diziliminde mutlaka öyle n+1 tanesi vardır ki ya artan ya da azalandır.
Bunu güvercin yuvası ilkesi ile ispatlayabilirsiniz.
Başta sorulan soru da verdiğim genel ifadenin n=4 halidir. Aslında her dizilim için en büyük değer olarak n+1 olur çünkü tersi örnekler bulunabilir. Verilen özel bir dizilim için daha büyük değerler de bulunabilir. Ama n+1 den küçük bir değer bulunamaz.
Sonraki mesajlarda verilen sayı aralıkları da gözlem yoluyla bulunmuş. Uğraşan ilgilenen emek harcayan arkadaşlara saygı ve sevgilerimi sunuyorum.
hocam bu konuda biraz düşündüm ama ne şekilde yuvaları oluşturabiliriz bulamadım açıkcası. en az 1 tanesinde n+1 eleman bulunması gereken n tane kümeyi ne şekilde oluşturuyoruz söyleyebilir misiniz?mathematics21'den alıntı:reel sayılardan seçilen n²+1 sayının her hangi bir diziliminde mutlaka öyle n+1 tanesi vardır ki ya artan ya da azalandır.
Bunu güvercin yuvası ilkesi ile ispatlayabilirsiniz.
Burada artan ve azalan ifadelerinin tanımlarına dikkat etmek gerekir. Artan olarak kesinlikle artan veya azalan olarak kesinlikle azalan anlaşılıyorsa yazdığım ifade birbirinden farklı n²+1 sayı için geçerlidir.
Bu durumu kanıtlamaya çalışalım:
İddianın yanlış olduğunu varsayalım.
Sayıları a₁, a₂, a₃ , ... ile gösterirsek her bir sayı için (i, j) şeklinde bir ikili oluşturalım. Burada i ile o sayıdan başlamak üzere en uzun artan alt dizinin eleman sayısını, j ile de en uzun azalan alt dizinin eleman sayısını gösterelim. Hipotezin yanlış olduğunu varsaydığımız için 1 ≤ i ≤ n ve 1 ≤ j ≤ n olmak zorundadır. Böylece n² tane (i, j) ikilisi oluşturabilir. Fakat bize verilen sayıların sayısı n²+1 olduğu için güvercin yuvası ilkesi gereği verilen iki sayı için oluşturduğumuz (i, j) ikilileri aynı olmalıdır. Bu sayılara a ve b diyelim.
Toparlayalım biraz: a için oluşturulan (i, j) ikilisi bize
(1) a ile başlayan ve artan bir alt dizinin uzunluğunun en fazla i,
(2) a ile başlayan ve azalan bir alt dizinin uzunluğunun en fazla j olduğunu belirtir.
Aynı çıkarım b için de geçerlidir.
Şimdi a<b durumu b için yazılan (1) ile birleştirlirse, a için yazılan (1) ile çelişir. b<a durumu a için yazılan (1) ile birleştirlirse, b için yazılan (1) ile çelişir.
Küçük bir örnekle (i, j) ikililerini biraz daha açık hale getirmeye çalışayım.
n=2 olsun.
Bu durumda verilen 5 farklı sayımız olacak.
Dizimiz 13, 41, 24, 2, 15 olsun.
Şimdi her sayı için (i, j) ikililerini oluşturalım:
13 için (2, 2). Burada birinci 2 bize 13 ile başlayan ve artan alt dizinin uzunluğunun en fazla 2 olduğunu belirtir. Mesela 13, 41 ya da 13, 24 ya da 13, 15. benzer şekilde diğer sayılar için de ikililer şöyledir:
41 için : (1, 3)
24 için : (1, 2)
2 için : (2, 1)
15 için : (1, 1)
Dikkat edersek bu ikililerden birinin bir bileşeni n (yani 2) den büyük oldu ki o da aradığımız alt dizinin uzunluğudur. Yani uzunluğu 3 olan ve azalan bir alt dizi bulduk.
çok güzel bir çözüm olmuş. güzel bir soruydu bu çözümle daha da güzelleşti.mathematics21'den alıntı:İddianın yanlış olduğunu varsayalım.
Sayıları a₁, a₂, a₃ , ... ile gösterirsek her bir sayı için (i, j) şeklinde bir ikili oluşturalım. Burada i ile o sayıdan başlamak üzere en uzun artan alt dizinin eleman sayısını, j ile de en uzun azalan alt dizinin eleman sayısını gösterelim. Hipotezin yanlış olduğunu varsaydığımız için 1 ≤ i ≤ n ve 1 ≤ j ≤ n olmak zorundadır. Böylece n² tane (i, j) ikilisi oluşturabilir. Fakat bize verilen sayıların sayısı n²+1 olduğu için güvercin yuvası ilkesi gereği verilen iki sayı için oluşturduğumuz (i, j) ikilileri aynı olmalıdır. Bu sayılara a ve b diyelim.
Toparlayalım biraz: a için oluşturulan (i, j) ikilisi bize
(1) a ile başlayan ve artan bir alt dizinin uzunluğunun en fazla i,
(2) a ile başlayan ve azalan bir alt dizinin uzunluğunun en fazla j olduğunu belirtir.
Aynı çıkarım b için de geçerlidir.
Şimdi a<b durumu b için yazılan (1) ile birleştirlirse, a için yazılan (1) ile çelişir. b<a durumu a için yazılan (1) ile birleştirlirse, b için yazılan (1) ile çelişir.