2.√(a4+b4+c4+d4)≥3(a+b+c+d)-10
Yazdırılabilir görünüm
2.√(a4+b4+c4+d4)≥3(a+b+c+d)-10
6.sınıfta bu soruyla nasıl karşılaştınız acaba?
daha güzel bi çözüm kesin vardır ama ilk etapta böylesi geldi,
Cauchy-Schwarz yazılırsa
2√(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)=√(1²+1²+1²+1²).((a²)²+(b²)²+(c²)²+(d²)²)≥(a².1+b².1+c².1+d².1)=a²+b²+c²+d²
yine C.S yazılırsa
a²+b²+c²+d²≥(a.1+b.1+c.1+d.1)²/(1²+1²+1²+1²) , a+b+c+d=t denirse
en sonda elde edilen
2√(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)≥t²/4 ≥? 3t-10
her t için t²/4≥3t-10 olduğu da t²-12t+40 ifadesinin diskriminantının 0 dan küçük olmasından anlaşılıyor zaten.
Ben başka çözüm buldum ama uzun biraz (a-1)2≥0 a2≥2a-1 aynısın b,c,d için yazılıp toplanırsa a2+b2+c2+d2≥2(a+b+c+d)-4gereksizyorumcu'den alıntı:6.sınıfta bu soruyla nasıl karşılaştınız acaba?
daha güzel bi çözüm kesin vardır ama ilk etapta böylesi geldi,
Cauchy-Schwarz yazılırsa
2√(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)=√(1²+1²+1²+1²).((a²)²+(b²)²+(c²)²+(d²)²)≥(a².1+b².1+c².1+d².1)=a²+b²+c²+d²
yine C.S yazılırsa
a²+b²+c²+d²≥(a.1+b.1+c.1+d.1)²/(1²+1²+1²+1²) , a+b+c+d=t denirse
en sonda elde edilen
2√(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)≥t²/4 ≥? 3t-10
her t için t²/4≥3t-10 olduğu da t²-12t+40 ifadesinin diskriminantının 0 dan küçük olmasından anlaşılıyor zaten.
aynı şekilde (a-2)2≥0 a2≥4a-4 b,c,d için yazılıp toplanırsa
a2+b2+c2+d2≥4(a+b+c+d)-16
birinci ile ikincitoplanıp ikiye bölünürse (a2+b2+c2+d2)≥3(a+b+c+d)-10
K.O≥A.O dan 1/2(√a4+b4+c4+d4)≥1/4(a2+b2+c2+d2)
2√a4+b4+c4+d4≥3(a+b+c+d)-10
bence gayet güzel bi çözüm olmuş.sentetikgeo'den alıntı:Ben başka çözüm buldum ama uzun biraz (a-1)2≥0 a2≥2a-1 aynısın b,c,d için yazılıp toplanırsa a2+b2+c2+d2≥2(a+b+c+d)-4
aynı şekilde (a-2)2≥0 a2≥4a-4 b,c,d için yazılıp toplanırsa
a2+b2+c2+d2≥4(a+b+c+d)-16
birinci ile ikincitoplanıp ikiye bölünürse (a2+b2+c2+d2)≥3(a+b+c+d)-10
K.O≥A.O dan 1/2(√a4+b4+c4+d4)≥1/4(a2+b2+c2+d2)
2√a4+b4+c4+d4≥3(a+b+c+d)-10