Bölünebilme

Soru 1: (3n+1) tamkare ise (n+1) sayısının üç tamkarenin toplamı olarak yazılabileceğini gösteriniz.

Soru 2: 6'ya bölünen her sayının dört tane tamsayının küpleri toplamı olarak yazılabileceğini gösteriniz.

Soru 3: n pozitif tamsayısı için, (2n+1) ve (3n+1) sayıları tamkare ise, (5n+3) asal değildir. Gösteriniz.

Soru 4: a,b,c ∈ Z olmak üzere, a²+b²+c² sayısı 16'ya tam bölünüyorsa a³+b³+c³ sayısı da 64'e tam bölünür. Gösteriniz.

Bu konuda eksik olduğumu düşünüyorum. Örnek soruların çözümlerini anlasam da alıştırma sorularının bazılarını çözemiyorum. Şimdiden teşekkür ederim.

1) 3n+1 tamkare ise 3n+1=a² olsun buradan 3n=a²-1=(a-1)(a+1) buradan ya a-1=3k yada a+1=3k olmalı

1.durum eğer a=3k+1 ise 3n+1=(3k+1)²=9k²+6k+1

n+1=3k²+2k+1=k²+k²+(k+1)²
bu şekilde 3 karenin toplamı olarak yazıldı

2.durum eğer a=3k-1 ise 3n+1=(3k-1)²=9k²-6k+1

n+1=3k²-2k+1=k²+k²+(k-1)²
bu şekilde 3 karenin toplamı olarak yazıldı 1.ve2.durumda istenen sağlanır

diğer sorularınla biraz uğraş olmassa yarın cevap yazarım yada diğer arkadaşlar yardımcı olur

2.
(n+1)³+(n-1)³+(-n)³+(-n)³=6n

4.
a²+b²+c² ifadesi 16 modunda incelenirse (kalanlar 0,1,4,9) sadece
a≡b≡c≡0 (mod4) için bunun sağlandığını görürüz
sonucu olarak a³,b³ ve c³ ayrı ayrı ve dolayısıyla toplamları 64 e bölünür.

bunlar ilk bakışta görünüyor diğerlerine bakmak lazım ama onlar da pek zor görünmüyolar belki maça kadar çözebiliriz

aerturk39'den alıntı:

1) 3n+1 tamkare ise 3n+1=a² olsun buradan 3n=a²-1=(a-1)(a+1) buradan ya a-1=3k yada a+1=3k olmalı

1.durum eğer a=3k+1 ise 3n+1=(3k+1)²=9k²+6k+1

n+1=3k²+2k+1=k²+k²+(k+1)²
bu şekilde 3 karenin toplamı olarak yazıldı

2.durum eğer a=3k-1 ise 3n+1=(3k-1)²=9k²-6k+1

n+1=3k²-2k+1=k²+k²+(k-1)²
bu şekilde 3 karenin toplamı olarak yazıldı 1.ve2.durumda istenen sağlanır

diğer sorularınla biraz uğraş olmassa yarın cevap yazarım yada diğer arkadaşlar yardımcı olur

gereksizyorumcu'den alıntı:

2.
(n+1)³+(n-1)³+(-n)³+(-n)³=6n

4.
a²+b²+c² ifadesi 16 modunda incelenirse (kalanlar 0,1,4,9) sadece
a≡b≡c≡0 (mod4) için bunun sağlandığını görürüz
sonucu olarak a³,b³ ve c³ ayrı ayrı ve dolayısıyla toplamları 64 e bölünür.

bunlar ilk bakışta görünüyor diğerlerine bakmak lazım ama onlar da pek zor görünmüyolar belki maça kadar çözebiliriz

Çok teşekkür ederim. Sadece 3. sorum kaldı. Ona da bakabilirseniz memnun olurum.

Mat.'den alıntı:

Çok teşekkür ederim. Sadece 3. sorum kaldı. Ona da bakabilirseniz memnun olurum.

çözünce bu kadar basit bişey için mi bu kadar uğraştım diye düşünüyo insan ama gerçekten çok uğraştım. yavaş yavaş bizden geçiyo galiba.

3.
2n+1=a² , 3n+1=b² olsun
5n+3=4.(2n+1)-(3n+1)=4.a²-b²=(2a-b).(2a+b) , 2a-b>1 olduğundan 5n+3 asal olamaz.