a^b=b^a , a=3.b ise a.b=?

a,b ∈ R olmak üzere a^b=b^a , a=3.b ise a.b=?
Eski bir matematik forumundan bir soru. Arşivden çıkardım.

sıfır olabilir mi

değil malesef.

bence 9

sıfır neden değil sağlamıyor mu ? o zaman birden fazla çözümü olabilir. mi?

iki tarafın da b tabanında logaritmasını alırsak
log_b3=3 bulunuyor
b nin kuvveti olarak alıp logaritmadan kurutlursak
b³=3
yani b=∛3 , a=3∛3

çarpımlarını soruyormuş a.b=3∛9

duygu95'den alıntı:

sıfır neden değil sağlamıyor mu ? o zaman birden fazla çözümü olabilir.

çarpım sıfırsa a veya b sıfırdır.
b≠0
a=0
0^b=0
b⁰=1
0≠1

Evet anladım paydada sıfır olamayacağından dolayı

bir çay doldurmak için gitmiştim çözümümde hata olduğunu farkettim :)
düzeltip yeniden yazayım

cevabı 9 buldum son kararım bu :)

benim çözmümde 9 du. gereksizyorumcu hocam sizin log_b3=3 değilde log_b3=2 olmasın.

benim eskiden bulduğum ayrıntılı çözümü ekleyebilirim.

log_b3b=3 bulmuştum

yanındaki bunu
log_bb+log_b3=3
1+log_b3=3
log_b3=2 şeklinde ayırmak yerine b yi görmezden geldiğimi sonradan anladım. soru kağıtta değil de ekranda yazılı olunca dediğim gibi böyle sorunlar yaşanabiliyor.

tabi kısa bir çözüm de yapılabilinir logaritmasız falan :)

b^3b=(3b)^b
b^b.b^2b=3^b.b^b
b^2b=3^b
(b²)^b=3^b
b²=3
3b²=9
3b.b=9
a.b=9

ayrıntılı çözümü ben yapmıştım zamanın behrinde gönderiyorum.

Biraz uzun olabilir idare edersiniz artık. :)

https://img201.imageshack.us/img201/9226/matab.png

a=3.b ise (3.b)^b=b^3.b
3^b.b^b=b^b.b^2.b
3^b=(b²)^b
b²=3
a.b=3.b²=3.3=9

Kısa ve net oldu galiba.

gereksizyorumcu'den alıntı:

tabi kısa bir çözüm de yapılabilinir logaritmasız falan :)

b^3b=(3b)^b
b^b.b^2b=3^b.b^b
b^2b=3^b
(b²)^b=3^b
b²=3
3b²=9
3b.b=9
a.b=9

bu çözüm süpermiş.

Yalnız bu wolfram bizim bilmediğimiz birşeyler buluyor. Bi fikri olan varmı?

tercihvebedel'den alıntı:

a=3.b ise (3.b)^b=b^3.b
3^b.b^b=b^b.b^2.b
3^b=(b²)^b
b²=3
a.b=3.b²=3.3=9

sizinkide güzel hocam :) :) :)

Sayın gereksizyorumcuyla aynı anda yazmışız. Biz de bu duruma, aklımız birmiş derler.

Admin'den alıntı:

bu çözüm süpermiş.

Yalnız bu wolfram bizim bilmediğimiz birşeyler buluyor. Bi fikri olan varmı?

wolframın çözümü

tercihvebedel'den alıntı:

Sayın gereksizyorumcuyla aynı anda yazmışız. Biz de bu duruma, aklımız birmiş derler.

evt hocam ben de ilk logaritmalı çözüm yapmıştım ama cevap √3 çıkınca bu çözüm şekli aklıma geldi.


bu arada hocam sorunun orijinal çözümünün altındaki imza nedir öyle manzara resmi gibi, M şeklinde kuşlar falan var :)

9 olması gerektiğini düşünüyorum

a/(b )=3 buradan a= 3k b= k diyebiliriz. Denklemde yerine koyarsak 〖(3k)〗^k=k^3k buradan k^2=3 sonucunu elde ederiz. a.b=k^2 olduğuna göre buradan 9 sonucunu elde ederiz.