Yazdırılabilir görünüm
aşağıdaki ifade nasıl ispatlanabilir?
1/n biçimindeki ifadeleri toplayıp 1 e eşitlerken 1/n biçimindeki ifadelerden en az birinin paydası çift olmalıdır.
not:böyle bir şeyin ispatlanabilir olup olmadığını bilmiyorum.bir konu üzerinde kafa yorarken aklıma takıldı.yardımcı olursanız sevinirim.
hıcam şöyle demek istemiştim 1/n sayılardan her biri farklı olacak şekilde alınacak
peki şöyle bir çözüm yapılabilirmi:
diyelim ki toplamı yazarken 1 tane 1/(2x+1) biçiminde 1 ifade kullandık geri kalan ifadeyi (1/2^1+1/2^2......1/2^k)+(1/(2x+1)(1/2^T1+1/2^T2+.........1/2^Tm)) olarak yazabiliriz
.bunu birazdan hem örnekle hem de tümevarımla ispatlamaya çalışacağım. öncelikle ifadedeki T1,T2,.......Tm sayıları 2^a<2x+1<2^a+1 şartını sağlayan a ve a+1 sayıları için (0,a)(kapalı aralık) aralığındaki sayılarından bazılarıdır.
şimdi bazı örnekler üzerinden durumu açıklayayım mesela başlangıçta 1/3 sayısını seçtik geriye 2/3 kaldı bunu da paydadaki ifadede yani 3 sayısı 1 ile 2 yani 2 nin 0. kuvveti ile 2 nin 1.kuvveti arasında kaldığından sayıyı 1/2+1/3(1/2) şeklinde yazabiliriz.
yani toplam 1/2+1/3+1/6 =1 oldu
bir örnek daha mesela 1/11 sayısını seçtik az önceki kurala göre 8<11<16 olduğundan öncelikle ifadeye 1/2+1/4+1/8 ekledik sonra da 1/11(1/4+1/8) ekledik yani toplamı şu şekilde yazdık 1/2+1/4+1/8+1/11+1/44+1/88=1 acaba bu durum bütün 2x+1 sayıları için gözlenebilir mi? onu da şu şekilde ispatladım.
öncelikle ilk örnek doğrultusunda ifadenin x=1 için doğru olduğu açık ifadenin x için doğru olduğunu varsayalım ve x+1 için tümevarımla kanıtlayalım. eğer sayıyı x yerine x+1 alırsak payda 1/2x+3 olur bunu 1/2x+1 e benzetmeye çalışalım iki ifadenin farkını alalım fark 2/(2x+1)(2x+3) olur bu ifade de fibonaccinin bulduklarına göre 1/(p+1)(2p+1)+1/(p+1) biçiminde yazılabilir. not: (2x+1)(2x+3)=2p+1 aldık. devam edelim o halde 1/2x+1=1/2x+3+1/(p+1)(2p+1)+1/(p+1) biçiminde yazılıyo yani ifade x için geçerli iken x+1 için de geçerli çünkü 1/2x+1 e biz uygun ifadelerle örneklerdeki gibi terimleri eklyerek 1 e tamamlıyorsak 1/2x+3 1/2x+1 e benzetilebidiğinden bu ifadede toplam 1 olacak şekilde yazılabilir. o halde biz bir çift sayıların çarpımsal terslerini alarak 1 e ulaşıyorsak aynı şeyi bütün paydaları tek olan sayılarla yapamayız. o halde kanıt bitmiştir.
NOT: (bütün çözüm bana ait.o yüzden yanlışlık olabilir.incelerseniz sevinirim. bein için çok önemli
bu soruyu yazdığınızda biraz uğraşmıştım ama bişeyler çıkmamıştı sonra yeniden bakarım demiştim öylece kalmış. anladığımız kadarıyla henüz bi çözüm yok o yüzden uygun bi zamanda tekrar bakalım diyerek sizin yukarıda yazdığınıza bakarsak,
yaptığınız şey ilk yorumda yazdığınız toplamın paydalar kısmında en az bir çift sayı olmalı sorusunun çözümü değildir. siz içinde en az bi tane tek sayı (bu tek sayı çözümünüze göre 1 hariç istediğiniz tek sayı) olan bir toplamın oluşturulabileceğini ispatlamaya çalışmış oluyorsunuz. biraz daha düzenlenirse yaptığınız şekilde bu gösterilebilir.
rastgele bir tek sayı seçildiğinde 2 den başlayıp o tek sayıya alttan en yakın 2 nin kuvveti olan 2k ya kadar toplam alınırsa geriye 1/2k kalır
tek sayının tersini de toplamıştık geriye 1/2k-1/T kaldı
1/2k-1/T=(T-2k)/(2k.T , burada T-2k<2k
pay kısmı 2lik tabanda yazılıp her parça paydadaki 2k ile sadeleştirilirse 1 sayısı en az 1 tanesi istediğimiz bir tek sayı olan ve bir kısmı 2 nin kuvveti olan sayıların terslerinin toplamı olarak yazılmış olur.
not:ilk sorunuzun open problem olma olasılığı oldukça yüksek, uygun bi zamanda googleda iyice bi arama yapmak lazım.
bunu anlayamadım evet bunu söyleyebiliyorsak işlem tamamlanmış oluyor.ero071'den alıntı:... o halde biz bir çift sayıların çarpımsal terslerini alarak 1 e ulaşıyorsak aynı şeyi bütün paydaları tek olan sayılarla yapamayız...
yani bir rasyonel sayıyı hepsi çift olan sayıların tersleri şeklinde yazmak onu hepsi tek olan sayıların tersi olarak yazmayı engelliyor mu?
1/2+1/30=1/3+1/5 bunun tersine bi örnek ama galiba yanlış gördüğüm bişeyler var dediğim gibi buna sonra bi kez daha baksam iyi olacak.
hocam galiba ben yaptığım çalışmaları birbirine karıştırmışım .doğrusu şu olacaktı.gerçi bu yazacaklarım ispat değil ama:
mesela bir örnek üzerinden gideyim :1=1/2+1/4+1/11+1/44+1/88 şimdi bunu yazarken 1/11 i kullandık geriye kalan 10/11 ifadesi için 1/n biçimindeki ifadelerin hepsinin paydası çift.ben şöyle düşünüyorum : bu 10/11 paydası çift olan 1/n biçimindeki ifadelerin toplamı olarak yazılabiliyorsa paydası tek olan 1/n biçimindeki sayıların toplamı olarak yazılamaz.ancak işte tam da bu noktayı ispatlayamıyorum.bu belki de matematikte önceden ispatlanmış bir şeydir.belki de düşüncelerim yanlıştır.yani 1/n biçiminde paydası tek olan sayılar toplanarak 2x/(2x+1) e ulaşılabilir.
ancak eğer böyle bir şey ispatlanmadıysa bunu yeni bir konjektür olarak görebilirmiyiz.
aklıma yeni bir şey geldi .
sorunun çözümü için şöyle bir şey yapılabilir mi?
mesela öncelikle 2x/(2x+1) in 1/n biçimindeki paydası tek olan ifadelerin toplamı olarak gösterilmeyeceği yerine (2x-1)/2x ifadesinin tek sayıların çarpımsal tersleri olarak toplanamıyacağını gösterelim.
şöyle ki paydası tek olan sayıları toplarsak paydası tek olan bir rasyonel sayı elde edilir.payı hiç önemli değil.mesela bu toplam m/(2p+1) biçiminde bu sayıyı başlangıçta aldığımız (2x-1)/2x e eşitlemeye çalışırsak yani içler dışlar çarpımı yapalım ama yaparsak bir tarafın tek bir tarafın çift olduğu çıkar hiç bir tek sayı da çift sayıya eşit olamayacağından 1/n biçimindeki sayılarımızdan en az birinin paydası çift olmalı.
şimdi bu 2x/(2x+1) i de (2x-1)/2x e benzetirsek sorun kalkar . bu iki ifadenin farkını alalım bu fark 1/(2x)(2x+1) e eşittir. paydamız çift ve payı 1 o halde ifadeyi benzetirken benzettiğimiz ifade paydası çift olan 1/n biçimindeki bir sayı benzettiğimiz sayı zaten paydalarından en az biri çift olan 1/n biçimindeki ifadelerle toplanıyordu.o halde 2x/2x+1 i de yazarken de 1/n biçimindeki ifadelerden en az birinin paydası çift.
bu ilk sorunuza denk bişey.ero071'den alıntı:hocam galiba ben yaptığım çalışmaları birbirine karıştırmışım .doğrusu şu olacaktı.gerçi bu yazacaklarım ispat değil ama:
mesela bir örnek üzerinden gideyim :1=1/2+1/4+1/11+1/44+1/88 şimdi bunu yazarken 1/11 i kullandık geriye kalan 10/11 ifadesi için 1/n biçimindeki ifadelerin hepsinin paydası çift.ben şöyle düşünüyorum : bu 10/11 paydası çift olan 1/n biçimindeki ifadelerin toplamı olarak yazılabiliyorsa paydası tek olan 1/n biçimindeki sayıların toplamı olarak yazılamaz.ancak işte tam da bu noktayı ispatlayamıyorum.bu belki de matematikte önceden ispatlanmış bir şeydir.belki de düşüncelerim yanlıştır.yani 1/n biçiminde paydası tek olan sayılar toplanarak 2x/(2x+1) e ulaşılabilir.
ancak eğer böyle bir şey ispatlanmadıysa bunu yeni bir konjektür olarak görebilirmiyiz.
olacaksa ilk sorunuz hipotez olur ama bu ispatlanmamışsa (belki de kolay bi ispatı var biz göremedik) çoktan birisi tarafından ortaya atılmıştır zaten.
ayrıca ben de 1 in tamamı tek sayıların tersleri olan sonlu toplam olarak yazılamayacağını düşünüyorum.
bunu yaparsak içinde tam olarak 1 tane çift olan bir toplamın yazılamayacağını göstermiş oluruz ki bunu göstermek çok zor değil zaten.ero071'den alıntı:aklıma yeni bir şey geldi .
sorunun çözümü için şöyle bir şey yapılabilir mi?
mesela öncelikle 2x/(2x+1) in 1/n biçimindeki paydası tek olan ifadelerin toplamı olarak gösterilmeyeceği yerine (2x-1)/2x ifadesinin tek sayıların çarpımsal tersleri olarak toplanamıyacağını gösterelim.
şöyle ki paydası tek olan sayıları toplarsak paydası tek olan bir rasyonel sayı elde edilir.payı hiç önemli değil.mesela bu toplam m/(2p+1) biçiminde bu sayıyı başlangıçta aldığımız (2x-1)/2x e eşitlemeye çalışırsak yani içler dışlar çarpımı yapalım ama yaparsak bir tarafın tek bir tarafın çift olduğu çıkar hiç bir tek sayı da çift sayıya eşit olamayacağından 1/n biçimindeki sayılarımızdan en az birinin paydası çift olmalı.
şimdi bu 2x/(2x+1) i de (2x-1)/2x e benzetirsek sorun kalkar . bu iki ifadenin farkını alalım bu fark 1/(2x)(2x+1) e eşittir. paydamız çift ve payı 1 o halde ifadeyi benzetirken benzettiğimiz ifade paydası çift olan 1/n biçimindeki bir sayı benzettiğimiz sayı zaten paydalarından en az biri çift olan 1/n biçimindeki ifadelerle toplanıyordu.o halde 2x/2x+1 i de yazarken de 1/n biçimindeki ifadelerden en az birinin paydası çift.
ilk sorumuz bunu istemiyor.
paydaya 3,5,7,9,11,33,35,45,55,77,105 yazın sonuç 1 olur
hocam çok sağolun gerçekten bu iyi oldu.aerturk39'den alıntı:paydaya 3,5,7,9,11,33,35,45,55,77,105 yazın sonuç 1 olur
böyle sayılar bulmaya çalışmıştım başarısız olunca olamayacağını ispatlamayı denedim ama bi türlü beceremedim. meğer olabildiği için ispatlayamıyormuşuz :)
ilgilenenler için :
egyptian fractions,optimal solution
bunu google da yazın ikinci sırada çıkan
egyptian fraction representation of 1 with odd denominator
adresine tıklayın ayrıntılı ispat ve diğer çözüm takımları hakkında geniş bilgi var tabiki ingilizce olarak
genel olarak şunu söylüyor böyle bir çözüm takımı için
1) enaz 9 tane tek sayı kullanılmalı daha azo olmuyor
2)kullanılacak sayıların enazından birisi 105 ten büyükeşit olmalı