1) x+y= 2
xy-z²= 1
sisteminin bütün çözümlerini bulunuz.

2) x,y,z sıfırdan farklı reel sayılar ve xy+xz+yz≠0 olmak üzere

x²+y²+z²

xy+xz+yz

ifadesinin -2 ile 1 arasında değerler alamayacağını gösteriniz.

3) 1+2+3+.......+n toplamının son rakamının 2,4,7,9 sayılarından biri olamayacağını gösteriniz

1)
xy-z²=1 verilmiş xy yanlız bırakın
xy=1+z² ..............(*)
x+y= 2 verilmiş bunun karesini alın
x²+y²+2xy=4 .................(&)

(*) ifadesini (&) yerine yazın

x²+y²+2(1+z²)=4

x²+y²+2z²=2 bu denklemden aradığınız tam sayı çözüm üçlüleri kolayca bulursunuz mesela(0,0,1) (0,0,-1) (1,1,0)....şeklinde
sorunun tamsayı çözümlerini istediğini varsayıyoruz

2) (x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+xz+yz) kullanın pay kısmında sanırım işe yarar...olmassa ao-go kullanılarakta çözümü yapılır sanırım denemedim olmassa yaparız

3)1+2+3+...+n=n(n+1)/2 olduğundan

n(n+1)

2

ifadesini mod 10 inceleyin

n(n+1)

2

≡x(mod10)

n(n+1)≡2x(mod10) burada x in 2,4,7,9 olamayacağı söyleniyor x yerine yazın 2,4,7,9

n(n+1)≡4(mod10)
n(n+1)≡8(mod10)
n(n+1)≡14(mod10)≡4(mod10)
n(n+1)≡18(mod10)≡8(mod10)
yukarıdaki 4 ifadeden herhangi birini sağlayan n sayısı yoktur

iki söylediğim birden aynı çözümde kullanılacakmış:) öncelikle
1.durum: xy+xz+yz≥0 ise aritmetik-geometrik ortalamadan
x²+y²≥2xy
x²+z²≥2xz
y²+z²≥2yz
hepsini toplayın
x²+y²+z²≥xy+xz+yz
heriki tarafı xy+xz+yz bölün
(x²+y²+z²) / (xy+xz+yz)≥1

2.durum xy+xz+yz < 0 ise

(x+y+z)²≥0 olduğundan
x²+y²+z²≥-2(xy+xz+yz)
her iki tarafı (xy+xz+yz) bölün (bunun negatif olduğunu unutmayın eşitsizlik yön değiştirir)
(x²+y²+z²) / (xy+xz+yz)≤-2

1.ve 2. durumdan aranılan ifade (-2,1) aralığından değer ALAMAZ

teşekkürler hocam.