Yazdırılabilir görünüm
1) x+y= 2
xy-z²= 1
sisteminin bütün çözümlerini bulunuz.
2) x,y,z sıfırdan farklı reel sayılar ve xy+xz+yz≠0 olmak üzere
x²+y²+z²xy+xz+yz
ifadesinin -2 ile 1 arasında değerler alamayacağını gösteriniz.
3) 1+2+3+.......+n toplamının son rakamının 2,4,7,9 sayılarından biri olamayacağını gösteriniz
1)
xy-z2=1 verilmiş xy yanlız bırakın
xy=1+z2 ..............(*)
x+y= 2 verilmiş bunun karesini alın
x²+y²+2xy=4 .................(&)
(*) ifadesini (&) yerine yazın
x²+y²+2(1+z2)=4
x²+y²+2z2=2 bu denklemden aradığınız tam sayı çözüm üçlüleri kolayca bulursunuz mesela(0,0,1) (0,0,-1) (1,1,0)....şeklinde
sorunun tamsayı çözümlerini istediğini varsayıyoruz
2) (x+y+z)2=x²+y²+z2+2(xy+xz+yz) kullanın pay kısmında sanırım işe yarar...olmassa ao-go kullanılarakta çözümü yapılır sanırım denemedim olmassa yaparız
3)1+2+3+...+n=n(n+1)/2 olduğundan
n(n+1)2
ifadesini mod 10 inceleyin
n(n+1)2
≡x(mod10)
n(n+1)≡2x(mod10) burada x in 2,4,7,9 olamayacağı söyleniyor x yerine yazın 2,4,7,9
n(n+1)≡4(mod10)
n(n+1)≡8(mod10)
n(n+1)≡14(mod10)≡4(mod10)
n(n+1)≡18(mod10)≡8(mod10)
yukarıdaki 4 ifadeden herhangi birini sağlayan n sayısı yoktur
iki söylediğim birden aynı çözümde kullanılacakmış:) öncelikle
1.durum: xy+xz+yz≥0 ise aritmetik-geometrik ortalamadan
x²+y²≥2xy
x²+z2≥2xz
y²+z2≥2yz
hepsini toplayın
x²+y²+z2≥xy+xz+yz
heriki tarafı xy+xz+yz bölün
(x²+y²+z2) / (xy+xz+yz)≥1
2.durum xy+xz+yz < 0 ise
(x+y+z)2≥0 olduğundan
x²+y²+z2≥-2(xy+xz+yz)
her iki tarafı (xy+xz+yz) bölün (bunun negatif olduğunu unutmayın eşitsizlik yön değiştirir)
(x²+y²+z2) / (xy+xz+yz)≤-2
1.ve 2. durumdan aranılan ifade (-2,1) aralığından değer ALAMAZ
teşekkürler hocam.