Zor Polinom Sorusu

Soruyu ben oluşturdum. O yüzden beğenmeyebilirsiniz. Ama başka bir çözüm yolu var mıdır, merak ediyorum. (Çünkü genelde ben soru oluştururken çok zor bir çözüm yolu olmasını istiyorum; ama çok basitçe de çözülebiliyor. Bir ara bir arkadaşıma üçgenin iki açısını yazıp üçüncü açısını sormuşluğum var. :D) Sorum şöyle:

İkinci dereceden bir P(x) polinomunun katsayılar toplamı ve (x+1)'e bölümünden kalan 1'dir. Bu polinomun çift dereceli terimleri alınarak Q(x) polinomu oluşturuluyor.
(Qⁿ)ⁿ)ⁿ.....(x) 'in x³-x ile bölümünden kalan ax²+b ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A)P(0)^a)^a)^a....=n
B)log_P(0)(n)=a
C)bⁿ)ⁿ....=P(0)
D)log_n(log_P(0)(1-a))=log_P(0)(1-a)
E)log_b(n)=a

NOT: Şıklara bakıp logaritma sorusu sanmayın. Logaritmanın tanımını bilen bir yaşıtımın da çözebileceği bir soru.
Bu arada tam 571. mesajımmış bu. Kurban bayramı arefesinde güzel rastlantı. :)
Not: Keşke kalana ax²+bx+c deseymişim, daha zor olurmuş, tüh. Neyse başta kopyayı verdik zaten. :)
Not: N'apıyım, derslerden bayramın türünü öğrenmeye vakit mi kaldı? :D Alın, kalın kalın düzelttim. :D

Logoritma ne tam bilmiyorum.Ama şuana kadar anladığım şey.
P(x) = ax^2 +bx+c
P(1) =1 denmiş.a+b+c =1
P(-1) = a-b+c =1
Çift dereceli terimler atılınca tek dereceliler kalır ve bu haliyle q(x) oluşuyormuş Q(x) = P(1)+P(-1)/2 , Q(x) = 1 olur. Q(x)'in 0 polinom olduğu.Bundan sonra bir şey yapamadım :)) Geldiğim yer burası

bi de bundan sonra Q(x)^n^n... şeklinde olunca yine 0 olmazmı?
(Qn)n)n.....(x) 'in x³-x ile bölümünden kalan ax²+b ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Q^n^n (x) = (x³-x).t(x)+ax²+b
Q(x) = 1 olur.Burdan ne gelir tam bilemedim :)

svsmumcu26'den alıntı:

Logoritma ne tam bilmiyorum.Ama şuana kadar anladığım şey.
P(x) = ax^2 +bx+c
P(1) =1 denmiş.a+b+c =1
P(-1) = a-b+c =1
Çift dereceli terimler atılınca tek dereceliler kalır ve bu haliyle q(x) oluşuyormuş Q(x) = P(1)-P(-1)/2 , Q(x) = 0 olur. Q(x)'in 0 polinom olduğu.Bundan sonra bir şey yapamadım :)) Geldiğim yer burası

bi de bundan sonra Q(x)^n^n... şeklinde olunca yine 0 olmazmı?

Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı P(1)+P(-1)/2 olduğundan Q(x)'in katsayılar toplamı 1 olur. Küçük bir gözden kaçırman olmuş.

evet haklısın.Ben direk tek derecelere bakmışım P(1)+P(-1)/2 = 2/2 = 1 olur. Katsayılar toplamı 1 oluyor.Haklısın :) da bundan sonraki iş zaten.

Soruda P(x)'in çift derceli terimleri alınarak Q(x) oluşturuluyor derken, Q(x) polinomu, P(x)'in çift dereceli terimlerinden oluşan bir polinom demek istedim. Yanlış anlaşılmasın. :)

o halde zaten Q(x) = 1 olmazmı ? Çünkü çift derceli katsayıları aldık.daha sonra Q(x) = (x³-x).t(x)+ax²+b
Q(x) = 1 , yerine yazıncada ;
zaten ne kadar girersem gideyim son noktada kalıyorum herhalde ordan sonra logoritmaya iş düşüyor...
merak ettim.

P(1)+P(-1)/2 her zaman sabit bir sayıdır. Bu Q(x)'e eşit olsaydı; bütün polinomların x⁰ dışında çift dereceli terimleri olmamış olurdu. Ki bu da yanlıştır. Dolayısıyla P(1)+P(-1)/2 bize Q(x)'i değil Q(1)'i verir.
Ayrıca; soruda diyor ki; der[P(x)]=2 . Dolayısıyla der[Q(x)] de 2 olmalı.
NOT: Logaritmayla ilgili tek bilinmesi gereken: a^b=c ise log_a(c)=b 'dir.
Mesela; 2³=8 olduğundan log₂(8)=3 'tür.
NOT/2: Uğraşmak isteyenler uğraşsın soruyla, aradan birkaç gün geçer de cevaplanmazsa müdahele ederiz. Sen merak etmeye devam et. :)

soruya kağıt kalem lazım akşam bakarız da bayramın Ramazan değil Kurban olduğunu söyleyerek olayı bambaşka bi boyuta taşımak istiyorum :)

gereksizyorumcu'den alıntı:

soruya kağıt kalem lazım akşam bakarız da bayramın Ramazan değil Kurban olduğunu söyleyerek olayı bambaşka bi boyuta taşımak istiyorum :)

Ramazan bayramı arefesinde güzel rastlantı.::) Evet öğrenci olmak gerçekten zormuş...:)
yoruma gülmeden geçmem affedersiniz affola

cevap B
şöyleki p(1)=p(-1)=1 olduğu açık ayrıca (p(1)-p(-1))/2 = 0 olduğu da görülmekte son yazdığımızdan px polinomunun tek dereceli bir terimi olmadığı yani p(x)=q(x) eşitliği bulunur şimdi q(0)= b ise p(0) da b dir. ayrıca p(1)=a+b olduğundan bunları düzenlersek px in ax^2 +b olduğu çıkar o halde qx=px olduğundan p^n^n......(x)=(x^3-x)b(x)+p(x) yazıp x =0 için ifadenin (p(0)=b idi) b^n^n....=b=p(0) olduğu ki bu da b şıkkında mevcut olur

ero071'den alıntı:

cevap B
şöyleki p(1)=p(-1)=1 olduğu açık ayrıca (p(1)-p(-1))/2 = 0 olduğu da görülmekte son yazdığımızdan px polinomunun tek dereceli bir terimi olmadığı yani p(x)=q(x) eşitliği bulunur
şimdi q(0)= b ise p(0) da b dir. ayrıca p(1)=a+b olduğundan bunları düzenlersek px in ax^2 +b olduğu çıkar o halde qx=px olduğundan p^n^n......(x)=(x^3-x)b(x)+p(x) yazıp x =0 için ifadenin (p(0)=b idi) b^n^n....=b=p(0) olduğu ki bu da b şıkkında mevcut olur

Şöyle bir gözden kaçırman olmuş: Q(x)=P(x)=ax²+b demişsin; ama soruda zaten b harfini başka bir şeyi ifade etmek için kullandım. Dolayısıyla B şıkkındaki "b" de benim soruda kullandığım "b". Acaba P(x)=mx²+n deseydin bu yoldan çıkarmıydı diye baktım. Bu durumda senin çözümünde yaptığın gibi kalana P(x) diyemezdik, çünkü soruda kalan ax²+b verilmiş. Adama sorarlar a=m, b=n olduğunu nereden biliyorsun diye :)

Zaten kalana bilerek ax²+b deyip çok kullanılan iki harfi kullandım, bir de üstüne B şıkkını da yapıştırınca oraya çeldirici olur diye düşündüm. Benden iyi test hazırlayıcısı olurmuş aslında. :)

tamam şöyle diyelim px=mx^2+n ise ve p(0)=b ise n=b olur p(1)=a+b ise m+n = a+b (n=b idi zaten) sadeleşirse m=a çıkar buradan da mx^2 +n nin ax^2 +b olduğu çıkar

P(0)=b olduğunu nereden anladık? Bölmede x yerine 0 yazılırsa;
P(0)üzeri n üzeri n......=b olur. Dolayısıyla n=1 olma durumu hariç P(0)=b olmaz. Ama soruda kesinlikle ifadesi geçmiş.

Günceldir.Yapan çıkmazsa çözümü bayram sonrasına erteleyelim.

Eveeet, bayramı da geçirdiğimize ve ben internete kavuştuğuma göre sorunun çözümüne geçebiliriz.
P(x) ikinci dereceden bir polinommuş. O halde y,h,f ∈R olmak üzere;P(x)=yx²+hx+f gibidir. P(x)'in çift dereceli terimleri kullanılarak bir Q(x) polinomu oluşturuluyor. O halde Q(x)=yx²+f olur. Ayrıca biz biliyoruz ki M(x) gibi bir polinomun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı [M(1)+M(-1)]/2 idi. O halde P(x) 'in de çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı [P(1)+P(-1)]/2 olur. Soruda P(x) polinomunun katsayılar toplamı 1 verilmiş. O halde P(1)=1 'dir. Ayrıca P(x)'in (x+1)'e bölümünden kalan da 1'e eşitmiş. (x+1)'i sıfıra eşitlersek x=-1 olur. -1 sayısını polinomda yerine yazarak bulduğumuz P(-1), P(x) polinomunun (x+1)'e bölümünden kalana eşittir. O halde P(-1)=1 olur.
Demiştik ki; P(x)'in çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı [P(1)+P(-1)]/2'dir. O halde P(x)'in çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı (1+1)/2=1 olur. Dolayısıyla y+f=1 olur.
Q(x)=yx²+f demiştik. Şimdi geldik can alıcı kısma.
Q(x)'in (x³-x)'e bölümünden kalan yx²+n dir.
Q²(x)'in (x³-x)'e bölümünden kalan (y²+2yf)x²+f²
Q³(x)'in (x³-x)'e bölümünden kalan (y³+3m²f++3yf²)x²+f³
Q⁴(x)'in (x³-x)'e bölümünden kalan (y⁴+4y³f+6y²f²+4yf³)x²+f⁴
Gördük ki; bu ifadeler binom açılımıyla paralel gidiyor. Dolayısıyla;
Q^k(x)'in (x³-x)'e bölümünden kalan ((y+f)^k-f^k)x²+f^k=(1-f^k)x²+f^k olacaktır.(Üstte y+f=1 demiştik.) (Aslında bu kısımda neden Q^10000000(x)'de de bunun geçerli olduğunu göstermemiz gerekir; ama o kısımı atlıyorum. )
O halde; (Qⁿ)ⁿ)ⁿ..'in x³-x'e bölümünden kalan da;
(1-(fⁿ)ⁿ)ⁿ..)x²+(fⁿ)ⁿ)ⁿ.. olur. Ki soruda bu kalanın ax²+b olduğu verilmiş. O halde;
ax²+b=(1-(fⁿ)ⁿ)ⁿ..)x²+fⁿ)ⁿ)ⁿ.. olur.
İki polinomun eştiliğini kullanırsak;
a=1-(fⁿ)ⁿ)ⁿ.. olur.
(fⁿ)ⁿ)ⁿ..)=1-a olur.
O halde logaritmanın tanımından hareketle;
log_f(1-a)=(nⁿ)ⁿ)ⁿ.. olur.
https://img17.imageshack.us/img17/9527/mat30102012.png
O halde; log_n(log _f (1-a)=log _f (1-a) olur.
f dediğimiz Q(x)'in ve aynı zamanda P(x)'in sabit terimidir. Yani f yerine P(0) yazılabilir. O halde D seçeneğine ulaşılır.

burada sonsuz tane n. kuvvet mi alınıyor? ben sabit bi sayıda mesela 10 kez alındığında durum ne olurdu diye düşünüüp kaç kere kuvvet alındığına bağlı olarak bi sonuç çıkacağını düşünmüştüm.

P(x)=Q(x)=cx²+d olsun (bahsedilen P ve Q her zaman eşittir bu atraksiyon neden yapıldı onu anlamadım)
(...((cx²+d)ⁿ)ⁿ)...=T(x).(x³-x)+ax²+b

burada
x=1 için c+d=1=a+b ve
x=0 için de ((...(d)ⁿ)ⁿ)...=b bulduk

bu noktada n in 1 den büyük olduğunu düşünürsek (ki n=1 gibi özel bir durum kastedilmemiştir heralde)
seçeneklerde P(0) logaritma tabanı olduğuna göre P(0)=d>0 ve d≠1 olduğundan hareketle
0<d<1 için b→0 ve a→1
d>1 için b→∞

bu noktada d>1 alamayız çünkü polinomlarda a ve b tanımlayamıyoruz,
d<1 için de zaten ax²+b=x² olduğu çıkıyor

buradan sonrası seçeneklerin yazımına bağlı ama E seçeninde de tanımsızlık oluşuyor.