Ispat soruları

1) https://chart.apis.google.com/chart?...sqrt%7B6%7D%20 ve https://chart.apis.google.com/chart?...rt%7B5%7D%20-1 sayılarının irrasyonel olduğunu gösteriniz.

2) https://chart.apis.google.com/chart?...%5Cepsilon%20R , ab<0 ve a>0 ise https://chart.apis.google.com/chart?...1%7D%7Bb%7D%20 olduğunu gösteriniz.

3) a>0 b>0 ve https://chart.apis.google.com/chart?...%5Cepsilon%20N olmak üzere, a>b ise https://chart.apis.google.com/chart?...%3Eb%5E%7Bn%7D gösteriniz.

4) x eksenine , y eksenine ve (3.6) noktasıına aynı uzaklıkta olan noktayı bulun.

5) x²+y²=1 çemberinde bulunan ve (1,3) ile (-2,2) noktalarına aynı uzaklıkta olan nok. bulunuz.

Üniversite hayatımın ilk proje ödevi :)

C.1
Çelişki Metoduyla İspat:
Kabul : Diyelim ki √6 rasyonel olsun. O halde;
√6'yı a ve b aralarında asal iki tam sayı olmak üzere a/b şeklinde yazabiliriz. Çünkü bütün rasyonel sayılar bu şekilde yazılabilir.
√6=a/b olur. İçler dışlar çarpımı yaparsak;
b.√6=a olur. Her tarafın karesini alırsak;
6b²=a² olur.
Bu durumda a²'nin içinde mutlaka 6 çarpanı olmalı. 6 çarpanı varsa a²'nin içinde, 36 çarpanı da vardır. Çünkü bir tamsayının karesinden bahsediyoruz.
Madem a²'nin içinde 36 çarpanı var, o halde b²'nin içinde de 6 çarpanı var. 6 çarpanı varsa; 36 çarpanı var. ............... Böylece gideriz. Zaten ilerisine gitmeye gerek yok. Çünkü baştaki kabulümüzle çeliştik. Demiştik ki, a ve b aralarında asal iki tamsayıdır. Ama şimdi de diyoruz ki; a² ve b²'nin ortak çarpanları var.
Dolayısıyla baştaki kabülümüzle çelişmiş oluruz.Dolayısıyla √6 rasyonel değildir. Böylece ispat biter.

C.1
Gelelim √5-1 'e. Aynı mantıktan gidelim.
√5-1 sayısının rasyonel olduğunu kabul edelim. O halde; a ve b aralarında asal olmak üzere a/b şeklinde yazılabilir.
√5-1=a/b ise;
√5=(a+b)/b olur.
NOT: İspat içinde bir başka ispat yapalım.
Kabul: a ve b aralarında asal olmak üzere; a+b sayısı ile b sayısı aralarında asal olmasın. O halde;
x tamsayı olmak üzere a+b=b.x 'dir. a=b(x-1)
Burada a ve b'nin baştaki kabülümüzde olduğu gibi asal bir sayı olması için kesinlikle a=b olmalı. Diğer durumlarda a ve b asal olmaz.
O halde;
a ve b asal iki sayı ise "a+b ile b" ya aralarında asaldır ya da a=b' dir. Soruya dönelim.
√5=(a+b)/b demiştik.
a+b ile b aralarında asal olamaz. (Bunun ispatını zaten ilk çözümde yaptık.) O halde geriye tek seçenek kalır: a=b olmalı. Ancak a=b olamaz. Çünkü a=b kabul edersek;
√5=2 olur. Bu da yanlıştır.
Dolayısıyla √5-1 sayısı a ve b aralarında asal olmak üzere a/b şeklinde yazılamaz. Ancak bütün rasyonel sayılar bu şekilde yazılabilir.O halde √5-1 rasyonel değildir. İrrasyoneldir.

C.2
Kabul edelim ki;
a,b∈R, ab<0, a>0 ve 1/a<1/b olsun.
1/a<1/b Payda eşitlersek;
b/ab<a/ab olur. ab<0 olduğuna göre, eşitsizliğin her iki tarafını ab ile çarparsak ab<0 olduğuna göre eşitsizlik yön değiştirir.
b>a olur.
a>0 olduğuna göre; b>a>0 olur. Eşitsizliklerde geçişme özelliğinden; b>0 olur.
b>0 eşitsizliğinde her iki tarafı a ile çarparsak a>0 olduğundan eşitsizlik yön değiştirmez.
ab>0 olur. Bu da baştaki kabülümüzle çelişir. Dolayısıyla 1/a<1/b olamaz.
Tamam o zaman, kabül edelim ki; a,b∈R, ab<0, a>0 ve 1/a=1/b olsun.
1/a=1/b ise içler dışlar çarpımında a=b olur.
ab<0 denkleminde b yerine a yazarsak;
a²<0 olur. Bu da baştaki a,b∈R kabülümüzle çelişir.
Dolayısıyla 1/a=1/b de olamaz.
Dolayısıyla 1/a>1/b olur.

C.3
Soru hatalı. Çünkü 0 da bir doğal sayı ancak a⁰=b⁰=1 'dir. Neyse, ben soruyu n≠0 için çözüyüm.
Kabul edelim ki; a>0,b>0,a>b ve aⁿ>bⁿ olsun.
aⁿ>bⁿ ise bu şu anlama gelir: a ve b sayılarının aynı doğal sayı kuvvetlerinden a'nınki daha büyüktür. Dolayısıyla n yerine n-1 de konulabilir. Yani a^n-1<b^n-1 olur.
Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Dolayısıyla a 'nın ve b'nin her kuvveti pozitiftir.
a>b eşitsizliğinde; her tarafı a^n-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez.
aⁿ>b.a^n-1 olur.
a>b eşitsizliğinde; her tarafı b^n-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez.
a.b^n-1>bⁿ olur.

a>0 eşitsizliğini b ile çarparsak; a.b>0 olur.
a.b>0 ve a^n-2>b^n-2 olduğundan;
a.b.a^n-2>.a.b.b^n-2 olur.
b.a^n-1>a.b^n-1 olur.
Önceden bulduğumuz;
aⁿ>b.a^n-1 ve a.b^n-1>bⁿ eşitsizlikleriyle b.a^n-1>a.b^n-1 eşitsizliklerini birleştrirsek;
aⁿ>b.a^n-1>a.b^n-1>bⁿ
Geçişme:
aⁿ>bⁿ olur.
Dolayısıyla baştaki kabulümüzle çelişmemiş oluruz. Baştaki kabülümüz kendiyle çelişmediği için doğrudur.

Mat.'den alıntı:

C.3
Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Dolayısıyla; a>0 ise a^n-1>0 ve b>0 ise b^n-1>0 olur.
a>b eşitsizliğinde; her tarafı a^n-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez.
aⁿ>b.a^n-1 olur.
a>b eşitsizliğinde; her tarafı b^n-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değştirmez.
a.b^n-1>bⁿ olur. Bu iki eşitsizliği birleştirirsek;
aⁿ>b.a^n-1>bⁿ olur.
Geçişme özelliğinden; aⁿ>bⁿ olur.

en sinir olduğum soru tarzıdır, 2 nin 1 den büyük olduğunu gösteriniz diye sorar bırakırlar. insan ne yapacağını şaşırır. tümevarım yapsan değmez. aⁿ-bⁿ i (a-b).(hepsi pozitif olan bir ifade) şeklinde açsan bu taş bu kuşa atılır mı diye sorarlar , en sonunda soru size bi yerde hata yaptırır. çözümünüzde de a.b^n-1 ile a^n-1.b nin ya aynı olduğu kabul edilmiş ya da bunların sıralanması es geçilmiş.
neyse işte ecnebiler böyle sorularda tek kelimelik cevap veriyorlar "trivial".

4 ve 5 için yardımcı olabilir misiniz ?

gereksizyorumcu'den alıntı:

en sinir olduğum soru tarzıdır, 2 nin 1 den büyük olduğunu gösteriniz diye sorar bırakırlar. insan ne yapacağını şaşırır. tümevarım yapsan değmez. aⁿ-bⁿ i (a-b).(hepsi pozitif olan bir ifade) şeklinde açsan bu taş bu kuşa atılır mı diye sorarlar , en sonunda soru size bi yerde hata yaptırır. çözümünüzde de a.b^n-1 ile a^n-1.b nin ya aynı olduğu kabul edilmiş ya da bunların sıralanması es geçilmiş.
neyse işte ecnebiler böyle sorularda tek kelimelik cevap veriyorlar "trivial".

Orayı gözden kaçırmışım. Ama şimdi düzelttim. Bu konuda da size katılıyorum. En iyisi "trivial" :)

4.
nokta x ve y ye aynı uzaklıktaysa x=y doğrusu üzerindedir
noktamız (a,a) olsun bu durumda (3,6) noktasına uzaklığı a olmalıdır
(a-3)²+(a-6)²=a² → (a-3).(a-15)=0 → a=15 veya a=3 yani (3,3) ve (15,15) noktaları işimizi görür

5.
verilen iki noktanın ortadikmesi üzerindeki noktalar bu iki noktaya eşit uzaklıktadır. bu dikmenin denklemi yazılıp çemberle ortak çözülürse 2 tane nokta bulunacaktır. orta dikmenin denklemi
y-5/2=-3.(x+1/2) ya da düzenlersek y=-3x+1 olur , çember denkleminde yerine yazalım
x²+(-3x+1)²=1
10x²-6x=0 → x=0 veya x=3/5 , buradan noktalar (0,1) ve (3/5,-4/5) bulunur

C.4
Bir noktanın x eksenine uzaklığı ordinatının mutlak değeri, y eksenine uzaklığı ise apsisinin mutlak değeridir. Dolayısıyla noktamız x,y ise x=y veya x=-y olur.
x=y alırsak;
Noktanın (3,6)'ya uzaklığı ise (x-3)²+(x-6)²'nin kareköküdür.
2x²-18x+45=x²
x²-18x+45=0
(x-15).(x-3)=0
x=15 V x=3 olur. Buradan (3,3) ve (15,15) noktaları gelir.
x=-y alırsak;
(x-3)²+(-x-6)²=x²
2x²+6x+45=x²
x²+6x+45=0
Denklemin reel kökü yok.

Mat.'den alıntı:

C.4
x=-y alırsak;
(x-3)²+(-x-6)²=x²
2x²+6x+45=x²
x²+6x+45=0
Denklemin reel kökü yok.

(3,6) noktası 1. bölgede olduğu için bu durumu pas geçmiştim sonuçta sorunun cevabı verilen nokta hangi bölgedeyse o bölgede iki tane çember merkezi çıkacaktı ama tam çözüm için bu durumu da incelememiz ya da en azından neden incelemediğimizi belirtmemiz gerekiyordu.