1) https://chart.apis.google.com/chart?...sqrt%7B6%7D%20 ve https://chart.apis.google.com/chart?...rt%7B5%7D%20-1 sayılarının irrasyonel olduğunu gösteriniz.

2) https://chart.apis.google.com/chart?...%5Cepsilon%20R , ab<0 ve a>0 ise https://chart.apis.google.com/chart?...1%7D%7Bb%7D%20 olduğunu gösteriniz.

3) a>0 b>0 ve https://chart.apis.google.com/chart?...%5Cepsilon%20N olmak üzere, a>b ise https://chart.apis.google.com/chart?...%3Eb%5E%7Bn%7D gösteriniz.

4) x eksenine , y eksenine ve (3.6) noktasıına aynı uzaklıkta olan noktayı bulun.

5) x²+y²=1 çemberinde bulunan ve (1,3) ile (-2,2) noktalarına aynı uzaklıkta olan nok. bulunuz.

Üniversite hayatımın ilk proje ödevi :)

C.1
Çelişki Metoduyla İspat:
Kabul : Diyelim ki √6 rasyonel olsun. O halde;
√6'yı a ve b aralarında asal iki tam sayı olmak üzere a/b şeklinde yazabiliriz. Çünkü bütün rasyonel sayılar bu şekilde yazılabilir.
√6=a/b olur. İçler dışlar çarpımı yaparsak;
b.√6=a olur. Her tarafın karesini alırsak;
6b²=a² olur.
Bu durumda a²'nin içinde mutlaka 6 çarpanı olmalı. 6 çarpanı varsa a²'nin içinde, 36 çarpanı da vardır. Çünkü bir tamsayının karesinden bahsediyoruz.
Madem a²'nin içinde 36 çarpanı var, o halde b²'nin içinde de 6 çarpanı var. 6 çarpanı varsa; 36 çarpanı var. ............... Böylece gideriz. Zaten ilerisine gitmeye gerek yok. Çünkü baştaki kabulümüzle çeliştik. Demiştik ki, a ve b aralarında asal iki tamsayıdır. Ama şimdi de diyoruz ki; a² ve b²'nin ortak çarpanları var.
Dolayısıyla baştaki kabülümüzle çelişmiş oluruz.Dolayısıyla √6 rasyonel değildir. Böylece ispat biter.

C.1
Gelelim √5-1 'e. Aynı mantıktan gidelim.
√5-1 sayısının rasyonel olduğunu kabul edelim. O halde; a ve b aralarında asal olmak üzere a/b şeklinde yazılabilir.
√5-1=a/b ise;
√5=(a+b)/b olur.
NOT: İspat içinde bir başka ispat yapalım.
Kabul: a ve b aralarında asal olmak üzere; a+b sayısı ile b sayısı aralarında asal olmasın. O halde;
x tamsayı olmak üzere a+b=b.x 'dir. a=b(x-1)
Burada a ve b'nin baştaki kabülümüzde olduğu gibi asal bir sayı olması için kesinlikle a=b olmalı. Diğer durumlarda a ve b asal olmaz.
O halde;
a ve b asal iki sayı ise "a+b ile b" ya aralarında asaldır ya da a=b' dir. Soruya dönelim.
√5=(a+b)/b demiştik.
a+b ile b aralarında asal olamaz. (Bunun ispatını zaten ilk çözümde yaptık.) O halde geriye tek seçenek kalır: a=b olmalı. Ancak a=b olamaz. Çünkü a=b kabul edersek;
√5=2 olur. Bu da yanlıştır.
Dolayısıyla √5-1 sayısı a ve b aralarında asal olmak üzere a/b şeklinde yazılamaz. Ancak bütün rasyonel sayılar bu şekilde yazılabilir.O halde √5-1 rasyonel değildir. İrrasyoneldir.

C.2
Kabul edelim ki;
a,b∈R, ab<0, a>0 ve 1/a<1/b olsun.
1/a<1/b Payda eşitlersek;
b/ab<a/ab olur. ab<0 olduğuna göre, eşitsizliğin her iki tarafını ab ile çarparsak ab<0 olduğuna göre eşitsizlik yön değiştirir.
b>a olur.
a>0 olduğuna göre; b>a>0 olur. Eşitsizliklerde geçişme özelliğinden; b>0 olur.
b>0 eşitsizliğinde her iki tarafı a ile çarparsak a>0 olduğundan eşitsizlik yön değiştirmez.
ab>0 olur. Bu da baştaki kabülümüzle çelişir. Dolayısıyla 1/a<1/b olamaz.
Tamam o zaman, kabül edelim ki; a,b∈R, ab<0, a>0 ve 1/a=1/b olsun.
1/a=1/b ise içler dışlar çarpımında a=b olur.
ab<0 denkleminde b yerine a yazarsak;
a²<0 olur. Bu da baştaki a,b∈R kabülümüzle çelişir.
Dolayısıyla 1/a=1/b de olamaz.
Dolayısıyla 1/a>1/b olur.

C.3
Soru hatalı. Çünkü 0 da bir doğal sayı ancak a⁰=b⁰=1 'dir. Neyse, ben soruyu n≠0 için çözüyüm.
Kabul edelim ki; a>0,b>0,a>b ve aⁿ>bⁿ olsun.
aⁿ>bⁿ ise bu şu anlama gelir: a ve b sayılarının aynı doğal sayı kuvvetlerinden a'nınki daha büyüktür. Dolayısıyla n yerine n-1 de konulabilir. Yani a^n-1<b^n-1 olur.
Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Dolayısıyla a 'nın ve b'nin her kuvveti pozitiftir.
a>b eşitsizliğinde; her tarafı a^n-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez.
aⁿ>b.a^n-1 olur.
a>b eşitsizliğinde; her tarafı b^n-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez.
a.b^n-1>bⁿ olur.

a>0 eşitsizliğini b ile çarparsak; a.b>0 olur.
a.b>0 ve a^n-2>b^n-2 olduğundan;
a.b.a^n-2>.a.b.b^n-2 olur.
b.a^n-1>a.b^n-1 olur.
Önceden bulduğumuz;
aⁿ>b.a^n-1 ve a.b^n-1>bⁿ eşitsizlikleriyle b.a^n-1>a.b^n-1 eşitsizliklerini birleştrirsek;
aⁿ>b.a^n-1>a.b^n-1>bⁿ
Geçişme:
aⁿ>bⁿ olur.
Dolayısıyla baştaki kabulümüzle çelişmemiş oluruz. Baştaki kabülümüz kendiyle çelişmediği için doğrudur.

Alıntı:

---

Mat.'den alıntı

C.3
Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Dolayısıyla; a>0 ise a^n-1>0 ve b>0 ise b^n-1>0 olur.
a>b eşitsizliğinde; her tarafı a^n-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez.
aⁿ>b.a^n-1 olur.
a>b eşitsizliğinde; her tarafı b^n-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değştirmez.
a.b^n-1>bⁿ olur. Bu iki eşitsizliği birleştirirsek;
aⁿ>b.a^n-1>bⁿ olur.
Geçişme özelliğinden; aⁿ>bⁿ olur.

---

en sinir olduğum soru tarzıdır, 2 nin 1 den büyük olduğunu gösteriniz diye sorar bırakırlar. insan ne yapacağını şaşırır. tümevarım yapsan değmez. aⁿ-bⁿ i (a-b).(hepsi pozitif olan bir ifade) şeklinde açsan bu taş bu kuşa atılır mı diye sorarlar , en sonunda soru size bi yerde hata yaptırır. çözümünüzde de a.b^n-1 ile a^n-1.b nin ya aynı olduğu kabul edilmiş ya da bunların sıralanması es geçilmiş.
neyse işte ecnebiler böyle sorularda tek kelimelik cevap veriyorlar "trivial".

4 ve 5 için yardımcı olabilir misiniz ?

Alıntı:

---

gereksizyorumcu'den alıntı

en sinir olduğum soru tarzıdır, 2 nin 1 den büyük olduğunu gösteriniz diye sorar bırakırlar. insan ne yapacağını şaşırır. tümevarım yapsan değmez. aⁿ-bⁿ i (a-b).(hepsi pozitif olan bir ifade) şeklinde açsan bu taş bu kuşa atılır mı diye sorarlar , en sonunda soru size bi yerde hata yaptırır. çözümünüzde de a.b^n-1 ile a^n-1.b nin ya aynı olduğu kabul edilmiş ya da bunların sıralanması es geçilmiş.
neyse işte ecnebiler böyle sorularda tek kelimelik cevap veriyorlar "trivial".

---

Orayı gözden kaçırmışım. Ama şimdi düzelttim. Bu konuda da size katılıyorum. En iyisi "trivial" :)

4.
nokta x ve y ye aynı uzaklıktaysa x=y doğrusu üzerindedir
noktamız (a,a) olsun bu durumda (3,6) noktasına uzaklığı a olmalıdır
(a-3)²+(a-6)²=a² → (a-3).(a-15)=0 → a=15 veya a=3 yani (3,3) ve (15,15) noktaları işimizi görür

5.
verilen iki noktanın ortadikmesi üzerindeki noktalar bu iki noktaya eşit uzaklıktadır. bu dikmenin denklemi yazılıp çemberle ortak çözülürse 2 tane nokta bulunacaktır. orta dikmenin denklemi
y-5/2=-3.(x+1/2) ya da düzenlersek y=-3x+1 olur , çember denkleminde yerine yazalım
x²+(-3x+1)²=1
10x²-6x=0 → x=0 veya x=3/5 , buradan noktalar (0,1) ve (3/5,-4/5) bulunur

C.4
Bir noktanın x eksenine uzaklığı ordinatının mutlak değeri, y eksenine uzaklığı ise apsisinin mutlak değeridir. Dolayısıyla noktamız x,y ise x=y veya x=-y olur.
x=y alırsak;
Noktanın (3,6)'ya uzaklığı ise (x-3)²+(x-6)²'nin kareköküdür.
2x²-18x+45=x²
x²-18x+45=0
(x-15).(x-3)=0
x=15 V x=3 olur. Buradan (3,3) ve (15,15) noktaları gelir.
x=-y alırsak;
(x-3)²+(-x-6)²=x²
2x²+6x+45=x²
x²+6x+45=0
Denklemin reel kökü yok.

Alıntı:

---

Mat.'den alıntı

C.4
x=-y alırsak;
(x-3)²+(-x-6)²=x²
2x²+6x+45=x²
x²+6x+45=0
Denklemin reel kökü yok.

---

(3,6) noktası 1. bölgede olduğu için bu durumu pas geçmiştim sonuçta sorunun cevabı verilen nokta hangi bölgedeyse o bölgede iki tane çember merkezi çıkacaktı ama tam çözüm için bu durumu da incelememiz ya da en azından neden incelemediğimizi belirtmemiz gerekiyordu.