https://img141.imageshack.us/img141/2123/mat2pv.jpg

2^√2/2 =1.632526... böyle bir sayıdır

duygu burada sayının değerinden ziyade bunun rasyonel (kesirli) olup olmadığı soruluyor
yani bu sayıyı p ve q birer tamsayıyken p/q şeklinde ifade edebilir miyiz?

Aşkın (transandantal) olduğunu wolfram söylüyor ancak; bir sayının aşkın sayı olduğunu yani rasyonel katsayılı bir polinomun kökü olmadığını bulmak hiç kolay değildir? İspat gerektirir. Bunuda yapabilecek varsa buyursun ben kaçtım. Ayrıca Aşkın (transandantal) sayılar irrasyonel sayıdır.

hocam bunun aşkın olup olmadığı sorulmamışki sadece rasyonel mi değil mi diyor anladığım kadarıyla
bunu da belirlemek oldukça kolay mesela sayının karesi rasyonel olmadığına göre rasyonel değildir diyebiliriz :)

Hocam bu aşkın bir sayı. Rasyonel olmadığını göstermek demek aşkın olduğunu ispat etmek demektir.
Karesinin rasyonel olmadığını da ispat etmeniz gerekir. Karesi olan 2^√2 sayısının rasyonel olmadığını nasıl anlayabiliyoruz kolayca :)
Her rasyonel sayının irrasyonel kuvveti irrasyoneldir diye bir aksiyom varsa bilmiyorum.

hayır hocam rasyonel olmadığını göstrmek demek p/q şeklinde yazılamadığını göstermek demektir
mesela √2 irrasyoneldir ama aşkın değildir. √2 nin rasyonel olmadığını göstermek çok kolaydır.
siz polinomun kökü olma durumuyla karıştırdınız.

bu arada dediğiniz gibi bir aksiyom ya da teoem yok zaten tersine örnekler mevcut

Eve ilk dediğiniz doğru. Ben bu soru için p/q şeklinde olmadığını gösteremeyeceğimiz için aşkın olduğunu ispatlamamız gerekiyor anlamında söyledim. Yoksa genel için değil tabiki.
Ama biliyorsunuz 2^√2 sayısını benzer örnekler var demek matematikte yeterli olmayacağını biliyoruz. Burada olur tabi ki, o kadar uğraşamayız. Ama üniversitede bir rasyonel sayının kuvveti irrasyonelse bu sayı irrasyoneldir dersek hoca hemen, kimin aksiyomu yada genel bir ispat var mı diye açıklama ister.

güzel bir tartışma konusu olacağını tahmin etmiştim. çünkü soruyu aldığım kaynakda bayağa bi hararetli tartışma yaşanmıştı.
peki kesirli (rasyonel) sayı mıdır? cevabı inannın bende bilmiyorum ve aldığım kaynakdada konu ucu açık biçimde bırakılmış.

√2 bir rasyonel sayı değildir yani √2 p,q aralarında asal ve tam sayı olmak üzere p/q şeklinde yazılamaz. Bu yüzden rasyonel sayı olmayan bir sayının üssünün rasyonel bir sayı olacağını sanmıyorum.

Alıntı:

---

Alp'den alıntı

√2 bir rasyonel sayı değildir yani √2 p,q aralarında asal ve tam sayı olmak üzere p/q şeklinde yazılamaz. Bu yüzden rasyonel sayı olmayan bir sayının üssünün rasyonel bir sayı olacağını sanmıyorum.

---

bu söylediğinizin aksine çok hoş bir ispat var :)

√2 rasyonel değildir

öyleyse şu sayıya bakalım
√2^√2 , eğer bu sayı rasyonelse işimiz bitmiş demektir. yok eğer bu rasyonel değilse
şu sayıya bakalım
(√2^√2)^√2=(√2)²=2
kısaca bu 2 sayıdan en az birisi irrasyonel^irrasyonel şeklinde yazılmıştır ve değeri rasyoneldir.

irrasyonel bir sayının irrasyonel bir kuuvetinin rasyonel olup olamayacağına kendimce bir bakış açısı getirecek olsam;
√2^√2=x olsun.(1. denklem) (irr.. sayının irr.. bir kuvvetidir x.)
her iki tarafın √2'nci kuvvetini alalım öncelikle.bu durumda olay şu şekle döner;
√2^2=x^√2 olacaktır. buradan x^√2=2/1 olacağı ortadadır.(2.denklem)
şimdi ispata geçelim. eğer 1. denkleme bakarak x sayısının irrasyonel olduğunu ortaya koyarsak 2. denklem bunun hep böyle olamayacağını denklemin kendisinden hareketle ortaya koyar. 1. denklemde şayet x irrasyonelse neden √2. yani irrasyonel bir kuvveti rasyonel bir sayı versindi??(denklem2)

gereksizyorumcu:) aynı anda aynı iki ispat oldu ya:)

Bu ispatlardan sonra diyecek bi sözüm kalmadı :)