Manuel bölme ve kalkülatör kullanmadan, 40987242699 onbir basamaklısının 84'le bölümünden kalanı bulunuz.

tc kimlik numaranız mı hocam :) :p

Değil, o kadar saf mı zannettin beni sınavınkızı?!:p:D

Alıntı:

---

sinavkizi'den alıntı

tc kimlik numaranız mı hocam :) :p

---

ahahaha:D

cevap 39 mu hocam

Alıntı:

---

Cem1971'den alıntı

Manuel bölme ve kalkülatör kullanmadan, 40987242699 onbir basamaklısının 84'le bölümünden kalanı bulunuz.

---

84=4.3.7

40987242699 4'e bölümünden 3 kalanını verir
o halde
40987242696 4'e ve 3 'e tam bölünür

40 987 242 696 1.gurup: 6.2+9.3+6.1=45 3.gurup:7.1+8.3+9.2=49
31 231 231 231 2.gurup: 2.1+4.3+2.2=18 4.gurup:4.3+0.1=12

(45+49)-(18+12)=94-30=64
7'e bölümünden kalan 1
o halde 7'e bölümü 1 kalanı verecek şekilde

1 , 8, 15, ..... olabilir kalanlar

burda 15 3'e blünüyor 7'e bölümünden 1 kalıyor ve 4'e bölümünden kalan 3 olduğu için 15 olabilir diyorum, ama son kararım mı?

Alıntı:

---

mateematik'den alıntı

cevap 39 mu hocam

---

Evet 39'dur. Çözümü de yazınız.

bildiğimiz bölünebilme kuralları ile yaptım.
84 ü 4 7 ve 3 şeklinde aralarında asal çarpanlarına ayırdım.
sayının 4 ile bölümünden kalan 3 , 7 ile bölümünden kalan 4, 3 ile bölümünden kalan 0

bu sayının 84 ile bölümünden kalan; sırasıyla 4,7 ve 3 e bölündüğü zaman 3,4 ve 0 kalanını verecektir. bu şartı sağlayan 84 ten küçük tek sayı 39

Güzel... (3,4,7)=1 şartıyla pek güzel. Fakat 39'u nasıl buldunuz, bunu da göstermeliydiniz; 83 sayı içinden ve hem de (bir) tek olarak onun sağlayacağını... Burası biraz muğlak kalmış.

böldüğümüz sayılar içinde en büyüğü 7.
7 ile bölündüğünde 4 kalanını veren en küçük sayı 11 dir. 11 in üstüne 7 ekleye ekleye gittim. 39 hem 7 yi bölünce 4 kalanını veriyor hem de 4 ve 3 e bölününce 3 ve 0 kalanını veriyor. Kısacası değer verdim:)

Bu sayıyı x,y,z birer tamsayı olacak şekilde ;
A=4x+3=7y+4=3z şeklinde yazıp her tarafa 45 eklersek;
A+45=4(x+12)=7(y+7)=3(z+15) olur. 3,4,7'nin ekoku 84. O zaman A+45=84 deriz. A=39 olur. Zaten diğer durumlarda A sayısı 84'den büyük olur ki kalan bölenden büyük olamaz.

Alıntı:

---

Mat.'den alıntı

Bu sayıyı x,y,z birer tamsayı olacak şekilde ;
A=4x+3=7y+4=3z şeklinde yazıp her tarafa 45 eklersek;
A+45=4(x+12)=7(y+7)=3(z+15) olur. 3,4,7'nin ekoku 84. O zaman A+45=84 deriz. A=39 olur. Zaten diğer durumlarda A sayısı 84'den büyük olur ki kalan bölenden büyük olamaz.

---

Mükemmel, aferin Mat, işte bu!

Benzer bir soru daha sorayım. Daha sonra benim benzer (fakat önemli bir ayrıntısı olan, başka çok az bir yerde görebileceğiniz:)) çözümü veririm bu ikisi için:

Manuel işlem ve kalkülatör kullanmadan, 678578478378278 . 923834745656 çarpımının 99'la bölümünden kalan kaçtır?

Cevap 67 mi hocam ?

Çözümüm de şöyle:
678578478378278=A
3 ile bölümünden kalan 5,
9 ile bölümünden kalan 5,
11 ile bölümünden kalan 5,
Demek ki A sayısının 99 ile bölümünden kalan 5 imiş.

923834745656=B
3 ile bölümünden kalan 2,
9 ile bölümünden kalan 8,
11 ile bölümünden kalan 9,
B=3x+2=9y+8=11z+9
B+46=3x+48=9x+54=11x+63
B+46=(3,9,11)okek
B+46=99m
m=1 için;
B=-46+99=53


A.B≡5.53≡67 (mod99)

Sağ olun hocam. Soruya gelince, Önceki soruyla aynı mantıktan 99'u aralarında asal iki çarpana ayırırız. 9.11 uygun sayılar. Daha sonra bu sayıların 9 ve 11'e bölümünden kalanları 9 ve 11'e bölünebilme kurallarına göre buluruz. Sayının rakamları toplamı 9'a bölümünden kalanı verir. 11 için de sayıyı en sağından başlayıp +,- şeklinde gruplandırırız. Bulduğumuz sayı bize o sayının 11'den kalanını verir. Eğer negatif bir sayıya ulaşırsak da modüler aritmetikteki denklik gibi bir mantık kurup sayının mod 11'deki denkliğini bulacağız.
Bunlara göre ilk sayının 9'dan ve 11'den kalanı 5 oluyor. Bu sayıya "B" diyelim. Bizim aradığımız, B'nin 99'dan kalanı. Bu kalana da x diyelim.
a bir tamsayı o.ü. B=99a+x'dir. 99a'nın 9'dan kalanı 0, B'nin ise 5 o halde x'in 99'dan kalanı 5 olmalı. (Çünkü bir toplamın bir tamsayıya bölümünden kalan toplanan sayıların o tamsayıya bölümünden kalanların toplamına eşittir.) Aynı şeyi 11 için de yaparsak x'in 11'den kalanını da 5 buluruz.
x öyle bir sayı ki 99'dan küçük ve 9 ve 11'den kalanları 5. Önceki mesajımda yaptığım işlemin aynısını yaparsak burada x=5 olduğunu görürüz.(Hatta bu sefer eşitliğin her tarafına bir sayı eklemeyip 5 çıkarırsak çok daha kolay olur işimiz.)
x'i yani, B'nin(ilk sayının) 99'dan kalanını bulduk.
Aynı işlemi 2. sayıya da uygularsak ikinci sayının 9'dan kalanı 8, 11'den kalanı 9 olur. Yine tamamen aynı mantıktan hareketle bu sayının 99'dan kalanını 53 buluruz. (Bu sayı biraz daha zorluyor. Çünkü önceki mesajımdaki işlemi yaparken eşitliğin her tarafına bu sefer eşitliğn her tarafına 46 ekliyoruz. )
Son olarak, bir çarpımın bir tam sayıya bölümünden kalanın çarpılan sayıların ayrı ayrı kalanları çarpımına eşit olduğunu uygularsak;
5.53=265 olur. 265'in de 99 ile bölümünden kalan 67 olur.

Görmemişim çözümü, pardon.

Güzel...

1. soru için 84=3.4.7 ve (3,4,7)=1 olduğundan 3, 4 ve 7 ile bölümden kalanlar (84 modunda) bir tek ortak noktaları vardır.
3 ile bölümden kalan 0, 4 ile bölümden kalan 3 ve 7 ile bölümden kalan 4 olduğundan, ilgili modları kadar atlayarak ortak olanı arıyalım, bu ortak olan tek olacaktır zirâ:

3 --> 0, 3, 6, 9, ...., 36, 39, 42, ....
4 --> 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 44, ...
7 --> 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, ...

Bu üç sayının bölümlerinden ortak olan 39 olduğuna göre, 84 ile bölümden kalan da 39'dur. Yukarıda bahsedeceğim dediğim olay bu idi.

Diğer verdiğim ikinci soru ise, yine aynı mantıkla:
9.11=99 ve (9,11)=1 olduğundan,

9'la bölme için: (678578478378278) ---> 6+7+8+..2+7+8=95 --> 95 denktir 5 (mod 9)
9'la bölme için: (923834745656) ---> 9+2+...6+5+6=62 --> 62 denktir 8 (mod 9)

---> (678578478378278).(923834745656)=5.8=40=4=kalan (mod 9)


11'le bölme için: (678578478378278) ---> 50-45=5 --> 5 denktir 5 (mod 11)
11'le bölme için: (923834745656) ---> 30-32=-2 --> -2 denktir 9 (mod 11)

---> (678578478378278).(923834745656)=5.9=45=1=kalan (mod 11)


İlgili modlarda aryarak ortak olanı bulalım:
9 ---> 4 13 22 31 40 49 58 67 76 85 94 (atlamayı burada kesiyorum, çünkü kalanın 99'dan ufak olduğunu biliyorum.)
11 --> 1 12 23 34 45 56 67 78 89 90

Demek ki, bu iki sayının çarpımının 99 ile bölümünden kalan 67'dir.

Alıntı:

---

Cem1971'den alıntı

Değil, o kadar saf mı zannettin beni sınavınkızı?!:p:D

---

" :P " yok canım, zaten son rakam tekmiş, olamaz (!) :)

Alıntı:

---

sinavkizi'den alıntı

" :P " yok canım, zaten son rakam tekmiş, olamaz (!) :)

---

Burada son derece ciddi şeylerden bahsediyorum, bahsediyoruz. Sen ise işi sulandırıyor ve görüntü kirliliği yapıyorsun sınavınkızı.
Boş işlerle uğraşma bence, enerjini başka yerlere sarf et. Açtığım konuyu hiç yararı olmayan boş lakırtı ile bulandırma, lütfen. :mad:

hocam ben de yönteminize ufak bi ekleme yapayım.
mesela 84 e bölümü incelerken 0,3 ve 4 ten başlayıp 3,4 ve 7 şer sayarken
iki satırda aynı sayıya ulaşırsak mesela 3 sayısı hem 3 ün satırında hem 4 ün satırında var, bundan sonra o iki satırı birleştirip
adım büyüklüğümüzü de onların okek i (çarpımı) yapabiliriz. burası için ortak sayı 3ün üzerine 12 ekleyerek yolumuza devam edebiliriz (ya da 11 in üzerine 28 ekleyerek)

not: bu soruya uğraşan arkadaşlarımızın çin kalan teoremine ve uygulamalarına bi göz atmaları iyi olacaktır.

Alıntı:

---

gereksizyorumcu'den alıntı

hocam ben de yönteminize ufak bi ekleme yapayım.
mesela 84 e bölümü incelerken 0,3 ve 4 ten başlayıp 3,4 ve 7 şer sayarken
iki satırda aynı sayıya ulaşırsak mesela 3 sayısı hem 3 ün satırında hem 4 ün satırında var, bundan sonra o iki satırı birleştirip
adım büyüklüğümüzü de onların okek i (çarpımı) yapabiliriz. burası için ortak sayı 3ün üzerine 12 ekleyerek yolumuza devam edebiliriz (ya da 11 in üzerine 28 ekleyerek)

not: bu soruya uğraşan arkadaşlarımızın çin kalan teoremine ve uygulamalarına bi göz atmaları iyi olacaktır.

---

o teorem ne oluyor?

Alıntı:

---

gereksizyorumcu'den alıntı

hocam ben de yönteminize ufak bi ekleme yapayım.
mesela 84 e bölümü incelerken 0,3 ve 4 ten başlayıp 3,4 ve 7 şer sayarken
iki satırda aynı sayıya ulaşırsak mesela 3 sayısı hem 3 ün satırında hem 4 ün satırında var, bundan sonra o iki satırı birleştirip
adım büyüklüğümüzü de onların okek i (çarpımı) yapabiliriz. burası için ortak sayı 3ün üzerine 12 ekleyerek yolumuza devam edebiliriz (ya da 11 in üzerine 28 ekleyerek)

not: bu soruya uğraşan arkadaşlarımızın çin kalan teoremine ve uygulamalarına bi göz atmaları iyi olacaktır.

---

Tabiî; bu çözümlerde ufak ayrıntılar bulabiliriz dediğiniz gibi. Daha incelenirse başka şeylerde çıkabilir. Fakat önemli bir nokta var; aynı kalanı bulunan sayılar için, meselâ yukarıda 1. soru için (3,4)=1 olması şart değil. Yâni aralarında asal olmayabilir. Yâni bu bahsettiğimiz Çin Kalan'ın özel hâli gibi bir şey.

"Çin Kalan"da ise ikişer ikişer aralarında asallık gerek.

Teorem:
m₁, m₂, ....,m_n sayıları (modları) ikişer ikişer aralarında asal olmak üzere,

x≅ a₁ (mod m₁)
x≅ a₂ (mod m₂)
.....
x≅ a_n (mod m_n) sisteminin mod(m₁.m₂. ... m_n) moduna göre bir tek çözümü vardır.

Alıntı:

---

Cem1971'den alıntı

Güzel...

1. soru için 84=3.4.7 ve (3,4,7)=1 olduğundan 3, 4 ve 7 ile bölümden kalanlar (84 modunda) bir tek ortak noktaları vardır.
3 ile bölümden kalan 0, 4 ile bölümden kalan 3 ve 7 ile bölümden kalan 4 olduğundan, ilgili modları kadar atlayarak ortak olanı arıyalım, bu ortak olan tek olacaktır zirâ:

3 --> 0, 3, 6, 9, ...., 36, 39, 42, ....
4 --> 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 44, ...
7 --> 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, ...

Bu üç sayının bölümlerinden ortak olan 39 olduğuna göre, 84 ile bölümden kalan da 39'dur. Yukarıda bahsedeceğim dediğim olay bu idi.

Diğer verdiğim ikinci soru ise, yine aynı mantıkla:
9.11=99 ve (9,11)=1 olduğundan,

9'la bölme için: (678578478378278) ---> 6+7+8+..2+7+8=95 --> 95 denktir 5 (mod 9)
9'la bölme için: (923834745656) ---> 9+2+...6+5+6=62 --> 62 denktir 8 (mod 9)

---> (678578478378278).(923834745656)=5.8=40=4=kalan (mod 9)


11'le bölme için: (678578478378278) ---> 50-45=5 --> 5 denktir 5 (mod 11)
11'le bölme için: (923834745656) ---> 30-32=-2 --> -2 denktir 9 (mod 11)

---> (678578478378278).(923834745656)=5.9=45=1=kalan (mod 11)


İlgili modlarda aryarak ortak olanı bulalım:
9 ---> 4 13 22 31 40 49 58 67 76 85 94 (atlamayı burada kesiyorum, çünkü kalanın 99'dan ufak olduğunu biliyorum.)
11 --> 1 12 23 34 45 56 67 78 89 90

Demek ki, bu iki sayının çarpımının 99 ile bölümünden kalan 67'dir.

---

güzelmiş,teşekkürler

Alıntı:

---

Cem1971'den alıntı

Burada son derece ciddi şeylerden bahsediyorum, bahsediyoruz. Sen ise işi sulandırıyor ve görüntü kirliliği yapıyorsun sınavınkızı.
Boş işlerle uğraşma bence, enerjini başka yerlere sarf et. Açtığım konuyu hiç yararı olmayan boş lakırtı ile bulandırma, lütfen. :mad:

---

Hiç zannetmiyorum ki bunları hak edecek bir şey söylemiş olayım, yok başka da diyeceğim...