Maksimum hacimli 12 br² yüzey alanlı ddikdörtgensel kutunun boyutlarını lagrange çarpanları yöntemiyle bulunuz.

Boyutları x, y, z olsun. Hacmi V=xyz, yüzey alanı S=2(xy+yz+zx)=12. Bizim aradığımız f(x,y,z)=xyz fonksiyonunun maksimum değerindeki x, y, z noktalarıdır. Burada x, y, z değerleri birer pozitif gerçel sayı olup g(x,y,z)=xy+yz+zx-6=0 denklemini sağlamalıdır.

Lagrangian ifadesini şöyle tanımlarız:

L(x,y,z,t)=xyz+t(xy+yz+zx-6). (Hocanız derste farklı şekilde yazmış olabilir. Hatta L gibi bir fonksiyon bile tanımlamamış olabilir. Ders notlarınızdan takip ederseniz daha sağlıklı olur.)

Şimdi L fonskyionunun kritik değerini aldığı (x, y, z, t) noktasını bulmaya çalışalım. Buradaki x, y, z aradığımız kutunun boyutları olacaktır:

L(x,y,z,t)=xyz+t(xy+yz+zx-6).

L_x(x,y,z,t)=yz+t(y+z)=0 ... (1)
L_y(x,y,z,t)=xz+t(x+z)=0 ... (2)
L_z(x,y,z,t)=xy+t(x+y)=0 ... (3)
L_t(x,y,z,t)=xy+yz+zx-6 ... (4)

(1) ve (2) ifadelerinden x=y elde edilir. (z nin sıfır olmaması gerektiğine dikkat ediniz.)
Benzer şekilde (2) ve (3) ifadelerinden y=z elde edilir.

(4) ifadesinde x=y=z kullanırsak x=y=z=√2.