p.. x +y +z −3 =0 düzlemi üzerinde orjine uzaklığı minumum olan noktanın koordinatlarını bulunuz

p.. x +y +z −3 =0 düzleminin x, y, z eksenlerini kestiği noktalar:
x eksenini kestiği noktanın koordinatları : A(3,0,0)
y eksenini kestiği noktanın koordinatları : B(0,3,0)
z eksenini kestiği noktanın koordinatları : C(0,0,3)

Bu 3 nokta birleştirilirse, uzayda, köşeleri A,B,C olan ABC eşkenar üçgeni elde edilir. Bu üçgenin köşeleri orijinle birleştirildiğinde, tepe noktası orijin olan, tabanında ABC üçgeni olan eşkenar üçgen piramit elde edilir. Tepe noktasından (orijinden) ABC üçgenine indirilen dikme, üçgeni, ağırlık merkezi diye tabir edilen noktada kesecektir (G noktası) ve bu dikmenin uzunluğu, orijinin, ABC üçgenine en kısa mesafesidir.
ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları ise, Köşe noktalarının koordinatlarının aritmetik ortalaması ile bulunur. O zaman
G( (3+0+0)/3 , ((0+3+0)/3 , (0+0+3)/3 ) = (1,1,1)

Hocam buradaki mantık iki bilinmeyenli (x,y) deki olanla aynı mı x e sıfır verip y yi bulmak gibi

Evet Duygu, ama bu 3 boyutlu

Yani koordinat sisteminde dikey yatay birde onları orjinden geçen başka bir doğru gibi mi düşünmemiz gerekiyor şekildeki gibi ?


https://img255.imageshack.us/img255/7511/3byt.jpg

Hayır hayır, bulunduğun odanın köşesinde kesişen 3 doğru gibi. Buna dikme çatısı gibi bir şey deniyordu galiba.

Pardon, dediğin doğru ama, 3. doğrunun da bunlara dik olması gerekiyor.

Anladım hocam Saolun.

Üstadım burdaki çözümüme baktınız mı? Bir yanlış var mı? Doğruluğundan emin değilim.

doğru olduğunu düşünüyorum
eğer bu kadar güzel bir düzlem verilmemiş olsaydı normal çizip çözebilirdik.

Uzayda düzlem konusuyla ilgili 14 senedir hiç soru çözmedim. Üniversiteden aklımda kalan bilgiyle bu kadar oldu. Benim tereddütüm, uzaydaki ağırlık merkezi formülü de düzlemdeki gibi mi? Yani (1,1,1) olamayabilirmiş gibi geldi.

evet düzlemdeki gibi , neden farklı olsun ki zaten.
benim esas demek istediğim orasının ağırlık merkezi olması dikmenin ağırlık merkeziyle çakışmasından kaynaklı. esas olarak biz dikmenin yani orijinden geçen normalin düzlemi kestiği noktayı buluyoruz.(siz de belirtmişsiniz zaten)

mesela x+y+z-3=0 yerine x+3y+z-3=0 düzlemi için soru sorulsaydı, bu düzlemin normali (1,3,1) olurdu
orijinden geçen ve (1,3,1) e paralel olan doğru da x/1=y/3=z/1 doğrusu olurdu
düzlemin denklemiyle ortak çözdüğümüzde x+9x+x=3 , x=3/11 , y=9/11 , z=3/11 bulunuyor , orijine en yakın nokta (3/11,9/11,3/11) oluyormuş. uzaklığı da 3/√11~0,9
ama ağırlık merkezi yöntemiyle yaparsak tabandaki üçgensel bölgenin köşeleri (3,0,0) , (0,1,0) ve (0,0,3) oluyor
ağırlık merkeziyse (1,1/3,1) oluyor ki bu noktanın orijine uzaklığı √19/3~1,45 , yani orijine en yakın nokta değil.

Teşekkür ederim. Yine geçmişime döndüm.