Bir türlü çözemediğim bir limit sorusu:

f(x), sabit terimi ve baş kat sayısı 7 olan, 7. dereceden bir polinom fonksiyondur.
https://chart.apis.google.com/chart?...7D%20%5Cright)
olsun.

https://chart.apis.google.com/chart?...%7Bx%7D%20%3D7

f(7) kaçtır?

Not: x ->+∞ giderken tabii ki... :)

f'(7k/x) ten f'(x) in (7k/x) teki değerini anlamamız gerekiyorsa (eğer (7k/x) in türeviyle de çarpmamız isteniyorsa (f(7k/x))' şeklinde yazılmalıydı diye düşünüyorum)

türev aldığımızda a_i.xⁱ li terim i.a_i.x^i-1 li bir hal alır. bu terimlerin her birini sonsuz toplam şeklinde (7k/x) lerde değerlerinin x e oranlarıysa
7^(i-1).a_i olur (integral alınıp kontrol edilebilinir)

i 1 den 7 ye kadar ∑7^(i-1).a_i=7 verilmiş
bu toplamı 7 ile çarpıp a₀ eklediğimizde zaten f(7) elde edilmiş olur.
sonuç buradan 7.7+7=56 bulunur. (neden başkatsayının 7 olduğunu vermiş bir türlü anlayamadım, çözümde bir hata yapmış ya da soruyu yanlış anlamış olabilirim)

Üstadım, verilenlere göre; diğer katsayılar 0 olsa bile f(x)=7.x⁷+7 olması gerekir.
Buradan f(7)=7.7⁷+7=7⁸+7 olur.

Bir limitte sonsuza giderken ki limit hesaplanırken sonucun sıfırdan farklı bir reel sayı çıkması için, ya sadeleşebilmesi lazım, ya da ∞/ ∞ belirsizliğinin olması lazım diye biliyorum. Verilen limit, bunların ikisine de uymuyor. Ben 0 diye buldum. Bu verilenlerle 7 çıkması zor gibi gözüküyor. Muhtemelen, sorunun yazımında bir yerlerde hata var.

verilen limit bunlara uyuyor hocam neden uymasın sadece a₂x² ve a₃x³ terimlerinin türeviin (7k/6) daki değerlerini snsuz toplamına bakalım.

(a₂x²)'=2.a₂x¹
∑2.a₂(7k/x)=2.a₂7.x.(x+1)/2x
bu toplamı x e oranladığımızda x→ ∞ , a₂.7 olur

(a₃x³)'=3.a₃x²
∑3.a₃(7k/x)²=3.a₃7².x.(x+1)(2x+1)/6x
bu toplamı x→ ∞ , x e oranladığımızda a₃7² bulunur.

bu değerlerin hepsi birer reel sayıdır toplamın 7 olması da katsayılarla ayarlanabilir.
sonuçta soru anladığım gibiyse bize verilen limit değeri f(7) nin a₀ eksiğinin 7 de biridir.

MatematikciFM'den alıntı:

Üstadım, verilenlere göre; diğer katsayılar 0 olsa bile f(x)=7.x⁷+7 olması gerekir.
Buradan f(7)=7.7⁷+7=7⁸+7 olur.

Bir limitte sonsuza giderken ki limit hesaplanırken sonucun sıfırdan farklı bir reel sayı çıkması için, ya sadeleşebilmesi lazım, ya da ∞/ ∞ belirsizliğinin olması lazım diye biliyorum. Verilen limit, bunların ikisine de uymuyor. Ben 0 diye buldum. Bu verilenlerle 7 çıkması zor gibi gözüküyor. Muhtemelen, sorunun yazımında bir yerlerde hata var.

Yanlış mı?

f(x)=7x⁷+7
olsa türevi 49x⁶ olur bu türevin
(7k/x) lerdeki toplamının x e oranı da
a₇.7⁶=7⁷ olur ama soru bize bu limitin 7⁷ değil sadece 7 olduğunu vermiş yani sizin fonksiyonunuz bu koşulu sağlamıyor. bu arada neden başkatsıyı verdiğini de anladım çünkü başkatsayı verilmese sadece başkatsayı 1/7⁵ olarak alınıp bu limit eşitliği sağlatılırdı ve f(7) kolayca 7⁷/7⁵+7=56 bulunur ama soru biraz olsunzorlaştırılmak istenmiş.

f(x), sabit terimi ve baş kat sayısı 7 olan, 7. dereceden bir polinom fonksiyondur.
f(x)=7x⁷+ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+e x²+fx+7
şeklinde olmaz mı?

evet soruda f(x) in böyle olduğunu söylemiş. ben de bunu temel alarak işlem yapmaya çalıştım.

Bunu kabul ediyorsanız, f(7)=7.7⁷+a.7⁶+b.7⁵+c.7⁴+d.7³+e. 7²+f.7+7
olduğunu da kabul edersiniz her halde. Bu değeri hangi şartlar altında 56 ya düşürebiliriz?

mesela a=-(7²) olur , b=d=1 , c=e=-7 olur f=7 seçrsek de istediğimizi elde etmiş oluruz
yalnız dediğim gibi bu sayıları bnimdediğim şekilde seçersek limit koşulunu çok büyük ihtimale sağlatamamış lacağız ben sadece bir örnek verdim.
limit değerini sağlatan katsayıları bulduğumuzda (ki bunlar limit bir reel sayıyken her zaman bulunabilir) bu değer f(7) nin sabit terim kadar eksiğinin 7 de biri olmalıdır.

Ben pes ettim. Zaten limitle aram yok. Hiç şansımı zorlamıyim. Sizin dediğiniz gibi olsun.

Evet, yaptığım nizâmî çözüme göre bunun cevabı 56 olmalı.

https://www.matematiktutkusu.com/for...-ve-limit.html