İmproper İntegral

Merhaba arkadaslar resimdekı ılk formulu hoca bıze yazdırdı
2. formulu ben bı kıtapdan buldum

http://c1203.hizliresim.com/v/l/3ng6v.png


bunların 2 sıde buyuk ıhtımalle aynı fakat 2. formuklu tam olarak anlayamadım tam olarak mantıgı nedır ??

f(x) ve g(x) fonksiyonlarının oranının x sonsuza giderken (x çok büyük değerler alırken) limiti pozitif bir reel sayı çıkarsa, bu fonksiyonlar çok büyük değerler için aynı davranışı gösterirler demektir. Improper integralde sorun sonsuzda olduğu için fonksiyonların sonsuz civarındaki davranışlarını inceleriz. Fonksiyonların oranlarının limiti pozitif bir reel sayı çıkınca fonksiyonların davranışları aynıdır anlamına gelir demek improper integrallerin biri yakınsak (convergent) ise diğeri de yakınsak olur. Biri ıraksak (divergent) ise diğeri de ıraksak olur. Hocanızın verdiği aslında Limit Comparison Test içindeki g(x) fonksiyonunun x^-p alınarak yazılmış özel hali.

Teşekkür Ederim hocam aslında mantıga oturması ıcın 2.resım ı onerırsınız deığim mi 1.si sankı ezber gıbı

birde hocam aklıma takılan su nokta var eger ıntegral davranısları aynı cıkarsa mesala yakınsak/yakınsak bu bir sayıya esıttır bunda mantgıma oturmyan bır sey yok


ama ıraksak/ıraksak = sonsuz/sonsuz olmuyor mu bu nasıl bır reel sayıya esıt oluyor


birde 2. resımde 0<L<sonsuz denmıs ne zaman sonsuza esıt olur ne zaman sıfıra esıt olur


mesala yakınsak/ıraksak= 0 mu yada ırtaksak/yakısan = sonsuz mu

yakınsak/ıraksak =0 veya ıraksak/yakınsak=sonsuz diye bakmayın olaya. Zaten yakınsak veya ıraksak olduklarını biliyorsanız test uygulamaya gerek kalmaz. Size verilen integralin yakınsak veya ıraksak olduğunu bilmediğiniz için test kullanırsınız.

Eğer f(x)/g(x)'in limiti 0 olursa bu (x çok büyük değerler alırken) f fonksiyonu g fonksiyonundan çok daha küçüktür anlamına gelir ve f<g gibi normal "comparison test" kullanabilirsiniz. Yani g'nin integrali yakınsak olursa f'nin integrali de yakınsak olur. g'nin intergali ıraksak olursa f'nin integrali hakkında "comparison test" bir şey söylemez.

Eğer f(x)/g(x)'in limiti sonsuz olursa bu f fonksiyonu g fonksiyonundan çok daha büyüktür anlamına gelir ve f>g gibi normal "comparison test" kullanabilirsiniz. Yani g'nin integrali ıraksak olursa f'nin integrali de ıraksak olur.

Her iki durumda da f'nin integralinin yakınsaklık veya ıraksaklık durumu bizden istenen durumdur ve g fonksiyonunu biz seçeriz şeklinde düşünürüz.

Limit sıfır ile sonsuz arasında bir gerçel sayı çıkarsa zaten limit comparison test cevap verir. Hocanızın yazdığı durum ise g(x)=1/x^p özel durumu alarak yazılmıştır.

Anladım Hocam Çok teşekkur ederim