olimpiyattan bi kaç soru

1)Ilk 2010 pozitif tam sayının rakamlarının toplamı kactır?

2)Rakamlarının faktoriyellerinin toplamı kendisine esit olan 2010 dan
kucuk kac pozitif tam sayı vardır?

3)1000 elemanlı bir kumenin 500 elemanlı altkumelerinin sayısı asagıdaki
sayılardan hangisine bolunmez?
a) 3 b) 5 c) 11 d) 13 e) 17

4)2010 kisinin yasadıgı bir koyde her ikisi de aynı arkadas sayısına sahip
olan bir tek ikili varsa, bu sayı kac farklı deger alabilir?

5)Baslangıcta n × n bir satranc tahtasının yalnızca sol alt kosesinde
bir tas bulunuyor. Oyuncular sırayla hamle yaparak, her hamlede tası
bulundugu karenin hemen sagındaki, hemen ustundeki veya hemen sag
ust ¸caprazındaki kareye kaydırıyorlar. Hamle yapamayan oyuncu oyunu
kaybediyor. Oyun, 6×7, 6×8, 7×7, 7×8 ve 8×8 tahtalarda birer kez
oynanırsa, bu oyunlardan kacını ilk hamleyi yapan oyuncu kazanmayı
garanti edebilir?

cevaplarını yazarmısın??çözmeyi denedim ama beceremedim...dersanedeki hocama soracağım merak ettim sadece cevapları ...hocam böyle sorularla uğraşmayı çok seviyorda...

1)28068
2)4
3)11
4)2
5)4

ikinci sorunun cevabının 3 olduğunu düşünüyorum.

bu forum bu soruların hepsini çözer :)

5.
x ve y varış noktasından yatay ve dikey uzaklık simgelediğinde hem x hem de y çift olmak üzere taşını (x,y) ye oynayabilen oyunu kazanır. bundan sonra rakibi x veya y de ya da her ikisinde birden 1 birimlik azaltmaya gidecektir. o da rakibi ne hamle yaparsa onu tekrarlayıp (x te azaltma yaptıysa o da x te azaltma yapar vs) son hamleyi kendisi yapacaktır. x ve y ç.ift oluğundan çift bi sayıdan tek sayı çıkaran rakibi, asla son hamleyi yapmış olamaz.
benzer şekilde rakibine ikisi de çift olmayan bir uzaklık bırakan da oyunu kaybeder çünkü uzaklıkların herhangi biri çift değilse çift olmayan yöne (yönlere) doğru ilerleyen rakip bu oyuncuya ikisi de çit olan ve kazanmasını sağlayan bir uzaklık burakıp hep yener.

kısaca 1. oyuncu çift-çift başlamayan her tahtada oyunu kazanır. 8x8 haricindekilr buna uygun.

2) 4 tane değil cevap 3 tane olacak 1,2,145
1!=1 ve 2!=2 şartı sağlıyor sonra sağlayan sayının içinde 5 ten büyük rakam olmamalı 6!=720 olduğundan sayı 720 denbüyük olmak zorunda kalıyor uymaz
5!=120 ise sayı 120 den büyük olacak 5 rakamıda sayının birler basamağına konulur (sayıyı çok büyütmemek için) ve birkaç denemeyle 145 =1!+4!+5! bulunur

3)

1000!

500!.500!

pay kısmındaki 1000! içinde 11 adedi 98 tanedir yani 1000!=11⁹⁸.A
paydadaki 500! içinde 11 adedi 49 tanedir yani 500!=11⁴⁹.B
o halde yukardaki kesri düzenlersek

(11⁹⁸.A)/(11⁴⁹.11⁴⁹.B.B)=A/B²
yani yukarıdaki kesrin içinde 11 çarpanı kalmaz haliyle 11 ede bölünmez diğer şıkları bu şekilde denerseniz hepsinin tam bölünecek şekilde çarpanı artıyor mutlaka

p asal sayı n doğal sayı ise n! içindeki p asal çarpan sayısı
val_p(n!)=[n/p]+[n/p²]+[n/p³]+...


1) önce 0 dan 999 a kadar olan sayıların rakamlarını topla her rakamdan 100 tane var ve sayılarda birler ,onlar,yüzler olmak üzere üç hane var
100(0+1+2+...8+9).3=13500
şimdi 1000 den 1999 a kadar aslında aynısı sadece 1000 tane 1 fazladan gelecek o zaman
0,1,2,...1998,1999 rakamları toplamı=2.13500+1000=28000
geriye kalan 2000,2001,...2009,2010 rakam toplamıda 68 oluyor genel toplam 28068

5)bu soruya cevap 4 denmiş
6x7,6x8,7x7,7x8,8x8 şeklindeki tahtalarda ilk dikkati çeken 7x7 demekki bu uymaz gibime geliyor hem satır hem sütun tek sayı
diğerlerinde mutlaka bir çift sayıvar 2. oyuncunun kazanacağı tahta 7x7 olsa gerek
6x7 oynadım 1. oyuncu daima kazanır diğerlerinede bakmak gerek

hocam 5. soru için tahta 7x7 olursa oyuna başlayan için kazanan strateji var.
cevaba 4 denmiş ben sayılara tam dikkat etmeden çözüm yapıp 4 olduğunu düşünmüştüm ama benim çözümüme göre cevap 3 olmalı.

hmm şimdi düşündüm de ben 7x7 lik tahtada 7 kere sağa gidiş olabileceğini varsaymışım ama orada 6 kere sağa 6 kere de yukarı gidiş var yani o hariç diğerleri için çözüm oluyor.

5. soruyu okuduğumda 7x7 hemen dikkatimi çekti diğerlerinin arasından sıyrılıyo:)
yukarıda cevap yazarken çözüm geliştirmemiştim ama tahtada herhangi bir satır yada sütünda çift sayı olması 1. oyuncunun kazanması için yeterli oluyo eğer herikiside tekse 1. oyuncu oynayınca bukez 2. ye satır yada sütunlardan biri çift kalıyor aynı durum 2. için geçerli oluyor bukez...

7x7 dışında her durumda oyuna başlayan oyuncu kazanır. Hatta başlangıç tahtasının (2k-1)x(2k-1) olduğu durumlarda kesinlikle ilk hamleyi yapan oyuncu kaybeder (iki oyuncunun da her türlü ihtimali düşündüğünü varsayıyoruz). Bunun dışındaki her durumda oyuna başlayan oyuncu kazanır. Genellemeyi yanlış yapmadığımı düşünüyorum ama sizin dediğinize göre birşeyi gözden kaçırmış olabilirim.

5.soruda hemfikiriz sayın gereksizyorumcuda yanlış saydığının hemen farkına vardı 7x7 için
cevabı verilince çözüm bulmak kolaylaşıyor enazından benim için:)

yine 4.sorudada cevap 2 denmiş 2010 için değilde daha küçük sayılarla deneme yapınca mesela 4 ve 5 ile denedim bu soruyu 2 farklı durum oluyor sürekli bunu genelleyebiliriz herhalde tabi cevap 2 denmese benim boyumu aşabilirdi bu soru pek kafa yormazdımaçıkçası

4 ü çözmüştüm ama buraya aktarmaya üşendim :)
kişi sayısının 2010 ve farklı sayı sayısının 2009 olması (arkadaşlığın karşılıklı olduğunu varsaydığımızda) n dan hareketle
0 veya max sayının hem aynı anda olamaması hem de herhangi bir anda 2 tane olan sayı olamamasını kullanıyoruz.

ilk durumda 0 arkadaşı olan yoksa mecburen 2009 arkadaşı lan olmalı ve böyle tek kişi olabilir çünkü aksi durumda 1 arkadaşı oln olmazdı v 2 tane aynı arkadaş sayısına sahip olan çift sayısı 1 den fazla olurdu vs vs.

şimdi 1,2,3,...,x-1,x,x,x+1,x+2,...,2008,2009 buradaki 2010 kişinin arkadaş sayısı olsun , 2009 olanı tüm arkadaşlık ilişkileriyle birlikte köyden kovarsak
0,1,2,...,x-2,x-1,x-1,...,2007 olan 2009 kişi kalır , buradan da 0 olanı kovarız
1,2,...,x-2,x-1,x-1,...,2007 olan 2008 kişi kaldı ve sorunun koşuluna uyan sadece 2010 ile 2008 in değiştiği bir druma indirgenmiş oldu

benzeri sürdürüldüğünde çift olanların ikisinin de 1 e indirgendiğini düşünelim

1,1,2,3,...,2010-2x,2011-2x arkadaşlık sayılarına sahip 2012-2x kişi kalmalı , şimdi yine en fazla olanı sildiğimizde herkesin 1 düşer
0,0,1,2,...,2009-2x burada da 2011-2x kişi olmalı 0 ları görmezsek
hepsi farklı olan 1 den 2009-2x e kadar arkadaşlık sayısına sahip ve 2009-2x kişi vardır bu da mümkün değil kişi kendiyle de arkadş olamaz
yani 2011-2x ilk işlemimizde en fzla olan olamaz. ama bu işlem sürdürlebilen bişeydi demek ki 2010-2x i elde ettiğimizde o kaln 2 sayı sadece eşit olan 2 tane olmalıdır yani x=1005 olur (ya da 1006 şimdi kafam karıştı :) )

aynı şekilde ilk durumda 0 arkadaşı olan varsa bu sefer de benzeri bir yürütme ile x=1005 ya da 1004 bulunuyordu

sonuçta x ilk durumda 0 arkadaşı olan birinin bulunması v ilk durumda 2009 arkadaşı olan birinin bulunması durumlarına göre 2 farklı değer alabiliyor