düzlemde rastgele alınan 3 noktanın geniş açılı bir üçgenin köşeleri olma alasılığı nedir?
Yazdırılabilir görünüm
düzlemde rastgele alınan 3 noktanın geniş açılı bir üçgenin köşeleri olma alasılığı nedir?
Biraz tel makarna sorusunu andırıyor,yanlıs mı dusunuyorum acaba?
cevabını biliyo musun?
(2/3)+∏/32 gibi bişeyler buldum
fikrimi değiştiriyorum :)
3/4 diyorum , gerçi yukarda bulduğum da 3/4 e çok yakın ama onun modelinde şüphelerim var.
cevabımı yeniden değiştirmek yerine iki cevaba da birer soru işareti koyup kaçıyorum.
nerden baksan tutarsızlık :)
şimdi ikisi için de kendimce mantıklı açıklamalarım var ama galiba ikisi de yanlış. şimdi çok uykum olmasa bi gogle taraması yapardım ama yatmam lazım. yarın bakarım nasılsa sana soran üretmemiştir böyle bir soruyu. insanlar üzerinde fikir yürütmüşlerdir bakıp öğreniriz doğru model nasıl olurmuş bizim modelimizin sıkıntıları neymiş :)
bu soru nerede karşına çıktı acaba?
bu linkte yazandan anladığım kadarıyla sorunun cevabı noktaları nasıl seçtiğinize göre değişmekle birlikte çözümü de biraz karışık olmalıki yazmamışlar.
neyse ben kendi cevaplarımı nasıl bulduğumu yazayım nasılsa sorunun cevabı noktaların seçim prosedürüne göre değişiyormuş benim seçimlerim de böyle :)
https://img845.imageshack.us/img845/...at07022012.jpg
düzlemi yarıçapı N olan bir (N→∞) noktalar kümesi olarak düşünüyoruz.
ilk nokta seçildiğinde onu sistemin merkezine yerleştiriyoruz. ikinci nokta ise uzaklığı x olan noktalardan biri olarak seçildiğinde onu (x,0) noktası olacak şekilde yerleştiriyoruz.
artık 3. nokta sarı bölgede seçilirse dar açılı , diğer bölgelerde seçilirse geniş açılı üçgen oluşacağından
0 dan N ye kadar şu integrali hesaplıyoruz
∫P.Q dx ,
P= x uzaklığında bir nokta seçilmiş olması = (x uzaklığındaki noktaların sayısı) / (tüm noktaların sayısı) = (2∏x)/(∏N²)=2x/N²
Q= x uzaklığı için noktanın sarı bölgeye düşme ihtimali=(sarı bölgenin alanı)/(tüm düzlemin alanı)=(sarı dikdörtgenin alanı-çemberin alanı)/(tüm düzlem) , bu adımda tüm düzlemi 2Nx2N gibi de düşünebiliriz ∏N² gibi de düşünebiliriz diye düşünüyorum ben 2Nx2N olarak düşündüm çünkü sarı dikdörtgene x.2N diyorum.
integralin sonucu da 1/3-∏/32 çıkıyor bunlar dar açılıların oranı , geniş açılıların oranı da 1-(1/3-∏/32)=2/3+∏/32 oluyor
eğer Q hesaplanırken tüm alanı ∏N² alırsak bu sefer sonuç (4/(3∏))-1/8 çıkıyor
geniş açılıların ihtimali de 7/8-4/3∏ yani %70 civarı bişey çıkıyor. (işlem hatası yapmamışsam bu çözümlerden %70-%76 arası cevaplar çıkıyor)
2. cevabımı ise şöyle düşünerek vermiştim ama bu kısa gözükse de pek güzel olmadı.
herhangi 3 nokta bir çemberin üzerinde olacağından çemrde ne durumda geniş açılı üçgen olupşur ona bakıyoruz. 3 noktanın tamamı bi tane çapın aynı tarafında kalabiliyorsa bu genişaçılı bir üçgenin köşeleridir (bir bakılırsa görülebilir)
ilk nokta nasıl seçilirse seçilsin onu tam orta nokta kabul eden bir yarım çember çizeriz. artık kalan 2 noktanın bu yarım çemberin üzerine düşm ihtimali (1/2)²=1/4 olur.
ilk noktayı seçerken 3 altrnatifimiz oluğunda 3 noktanın çemberde aynı yarıçevrede bulunma ihtimalleri 3/4 olur. noktalar seçilirken bu noktaların üzerinde durduğu çemberin de değişim gösteriyor olması bu çözümün en büyük sorunu gibi duruyor.
bi matematik sitesinde görmüştüm hoşuma gittiği için paylaşmak istedim
Cevap'den alıntı:Soru: [0, 1] aralığından rastgele iki x ve y sayısı seçerek, kenarları 1, x ve y olan bir geniş
açılı üçgen oluşturma olasılığı kaçtır?
Bu soruda işin içine üçgen oluşturabiliyo olmak da girdiğinden ihtimal biraz düşük oluyor. Dokümandaki çözüm de bayağı bi uzatılmış. sadece sona doğru yapılan gibi çeyrek çember yayı ve 45° eğimle gelen kirişin arasında kalan alanı hesaplayıp budur demek yeterdi