Tartı Seti (sorumaratonu soruları)

Bir arkadaşımız sorumaratonundan alınmış 2 soruyu (piyonlar ve 2 harfli kitap) bizimle paylaşmıştı.

Elimizde hazır kaynak varken biz de alıntı yapalım , sıradan gidelim işte :)

Tartı Seti

'den alıntı:

Bir tartı seti oluşturmak üzere üç ağırlık belirleyecek ve her ağırlıktan üçer adet alacaksınız. Amacınız iki kefeli bir denge terazisinde bu dokuz ağırlığı kullanarak 1'den N'ye kadar olan bütün tamsayı ağırlıkları tartabilmek.

N sayısı en çok kaç olabilir?

Notlar:
-Ağırlıkları terazinin iki kefesine de koyabilirsiniz.
-Tarttığınız her tamsayı ağırlıkta terazi dengede olmalıdır.

bir ayrıntı var, sorunun yayınlandığı yerde cevap isteniyor biz çözümleri de istiyoruz :)

mesela 4 tane var diyelim (çok uğraştırmasın diye)
1 2 4 8 ağırlıklarına toplarla hepsinin toplamıyla 1 arasındaki bütün ağırlıkları elde edebiliriz.

Ör: 1 = 1, 2 = 2, 3= 1+2, 4=4, 5= 4+1, 6= 4+2, 7= 4+2+1 8= 8, 9= 8+1, 10= 8+2, 11= 8+2+1, 12= 8+4, 13= 8+4+1, 14= 8+4+2, 15=8+4+2+1 yani aradaki hepsi elde edilir bu 9 tane sayı olunca

1 2 4 8 16 32 64 128 256 olur ve toplamları 511 olur. Yani 511 e kadar olan tüm sayıları elde ederiz. O zaman N= 511

Ben bu şekilde anlaşılacağını düşünmemiştim o yüzden soruyu açıklama ihtiyacı hissetmedim. Madem böyle de anlayan arkadaşlarımız olabiliyor sorunun kendi anladığım şekli için açıklama getireyim.
Bir tartı seti oluşturuyoruz bunun için 3 ağırlık mesela 2-3-7 seçiyoruz
artık bu ağırlıkların herbirinden 3er tane alıyoruz. 2,2,2,3,3,3,7,7,7 bu 9 ağırlık bizim setimiz oluyor ve bununla 1 den N e kadar atıyorum 1 den 30 a kadar her ağırlığı tartabilmemiz isteniyor. İşte bu şekilde oluşturulan bi setle N en fazla ne olur diye soruluyor.

dolayısıyla 511 cevabı doğru değil. 511 için 9 farklı ağırlık kullanılıyor buna izin verilse 1,3,9,...,3^8 kullanarak daha büyük bir N e zaten ulaşılabilir.

konu biraz hareketlilik kazansın diye ilk cevabımı söyleyeyim ilk aklıma gelen N=63 diyeyim ve üzerinde biraz daha düşünmeye devam edeyim

biraz daha düşününce şimdi de 171 diyorum:)

paradoks12'den alıntı:

biraz daha düşününce şimdi de 171 diyorum:)

171 den fazla olamayacağını gösterebilir misiniz?

Aklıma güzel bir ispat şuan için gelmiyor belki üzerinde daha çok düşünürsem bişeyler çıkarırım ama zor gibi geldi bana
tabi ispatlamayınca da çözüm sadece içgüdüsel olarak kalıyor:)

cevap 171 mi? eğer 171 ise ispatı sanırım şurdan geçiyor;
önce en küçük ağırlığın 1 seçilmesinin zorunlu olması ispatlanmalı sonra gerisi geliyor zaten

paradoks12'den alıntı:

cevap 171 mi? eğer 171 ise ispatı sanırım şurdan geçiyor;
önce en küçük ağırlığın 1 seçilmesinin zorunlu olması ispatlanmalı sonra gerisi geliyor zaten

soruyu aldığımız yeri biliyosunuz. orada ne cevap ne de çözüm yazılmamış. ben 171 olduğunu ve bunu ispatladığımı düşünüyorum. hatta sizin yazdığınızı yani en küçüğün 1 olduğunu gösterdim diyelim. zaten çözdüğünüzü varsayıyorum işleri hızlandırması açısından bir ipucu verip sıradaki soruya geçelim diyorum :)

N bu türlü elde edilen en büük sayı ise N-1 sayısı ne şekilde elde edilir?

9 ağırlıktan 8 tanesini bir kefeye koymak yeterli, sadece 1 olan 3 ağırlıktan 1 tanesi konmuyor.
sorudaki ağırlıklar 1-7-49 oluyor.
3.49+3.7+2.1=170

paradoks hocam geçen gün üzerinde düşünürken bu soruya güzel olduğunu düşündüğüm bir çözüm bulduk. hazır kar yolları kapatıp vakit bulmuşken yazayım.

ağırlıklar a<b<c olmak üzere aaabbbccc tartı setimiz olsun.

Bu durumda herhangi bir ağırlık üçlüsünü ekle aldığınızda mesela aaa terazinin kefelerinde sol tarafı pozitif kabul edersek
3a,2a,a,0,-a,-2a,-3a olmak üzere 7 değişik tartım oluşturabiliriz.
Her ağırlık grubu için 7 değişik tarım oluyorsa toplamda 7³=343 alternatif vardır.bunlardan bi tanesi 0 geriye kalan 342 tanesi ise ikişerli olarak birbirlerinin negatifidir.
Kısaca belirtilen koşullarda oluşturulan bir şeyle en fazla 171 farklı ağırlık tartılabilir.
1-N arasındaki tüm ağırlıklar tartılmak isteniyorsa N en fazla 171 olabilir.171 için de çözüm bulmak ispatı
tamamlayacaktır onu da 111,777,494949 ile yapabiliriz.

hocam elinize sağlık, ben sayıların 1-7-49 olması gerektiğini kestirdim ama böyle bir ispat hiç aklıma gelmedi doğrusu

bu arada yeni soru bekliyoruz, çözemesek de kafa yormak iyi geliyor. yaşlandım artık yaptığım tek spor beğin cimlastiği:) bu kelimeyide doğru yazmayı bir türlü öğrenemedim, sevdiğim haliyle yazdım

hocam bu soruları belirttiğimiz siteden alıyoruz.
listede 20 tane soru var istediğiniz varsa seçin üzerinde beraber düşünelim.