Rolle teoreminden yararlanarak
x³+x²+x+1=0 denkleminin bir tek reel köke sahip olduğunu gösteriniz.

f nin x₁ ve x₂ gibi iki kökünün olduğunu farzedelim.
f, [x₁,x₂] aralığında sürekli ve (x₁,x₂) açık aralığının her noktasında türevlenebilirdir. O zaman Rolle teoremi (sonucu) gereği f '(x)=0 denkleminin [x₁,x₂] aralığında en az bir kökü vardır. Bakalım:

f '(x)=3x²+2x+1=0 denklemi için delta=-8<0 olduğundan f '(x) fonksiyonunun rel bir kökü yoktur. Demek ki kabulümüz yanlıştır. f nin x₁ ve x₂ gibi iki kökü yoktur.

Şimdi, o zaman (varsa) tek olan kökü bulmaya çalışalım:
Gauss gereği tamsayı kök varsa a₀'ı, f nin katsayısını (sabit terim) bölmelidir. {-1,1} bölenlerdir. Ama tüm işaretler + olduğu için sağlarsa x=-1 sağlar. Gerçekten; -1+1-1+1=0 olduğu görülür Demek ki f nin tek (reel) kökü x=-1 'dir. Bundan başka kökü yoktur.
Polinom bölmesi ile, x³+x²+x+1=(x+1).(x²+1) yazılabilir.

UYARI:
3. dereceden polinom fonkisyonun ya (sadece) 1 yahut 3 kökü reel'dir.

çözüm için teşekkür ederim hocam

Önemli değil, önemli değil...:)
Hadi bakalım; ötekini yap da görelim. Burada birisine bir şey öğretmiş olayım bâri, hiç olmazsa...

Sonra yavaş yavaş çekileyim...:)