her x,y∈R için |sinx-siny|≤|x-y| olduğunu ortalama değer teoremi kullanarak gosteriniz.
Yazdırılabilir görünüm
her x,y∈R için |sinx-siny|≤|x-y| olduğunu ortalama değer teoremi kullanarak gosteriniz.
Belki bir şeyler çıkarılabilir ama mutlak değer içinde böyle karışık bir ifade olunca ne yapacağımızı kestirmek zor..Daha önce mutlak değerli bir ifadeye odt uygulamadığım,örneğini de görmediğim için pek bir şey yapamıyorum..
x∈R için -1≤sinx≤1 tanımından geleceğine eminim,sanırım matematik bölümünde okuyorsunuz,mutlak değerli bir örnek var mı çözümü olan ?
x=y ise sonuç açıkça görülüyor. genelliği kaybetmeden x>y alın
f(x)=sinx fonksiyonu için ortalama değer teoremi z∈[y,x] için
f ' (z)=
f(x)-f(y)x-y
olacak şekilde bir z reel sayısının olduğunu söyler f(x)=sinx ve f(y)=siny ve
f ' (z)=cosz ve -1≤cosz≤1 olduğunu gözönüne alarak yukarıda yazarsanız aradığınız eşitsizlik ispatlanmış olur
Bu basit ve anlaşılır çözüm için teşekkürler :)aerturk39'den alıntı:x=y ise sonuç açıkça görülüyor. genelliği kaybetmeden x>y alın
f(x)=sinx fonksiyonu için ortalama değer teoremi z∈[y,x] için
f ' (z)=
f(x)-f(y)x-y
olacak şekilde bir z reel sayısının olduğunu söyler f(x)=sinx ve f(y)=siny ve
f ' (z)=cosz ve -1≤cosz≤1 olduğunu gözönüne alarak yukarıda yazarsanız aradığınız eşitsizlik ispatlanmış olur
Ben -1≤sinx≤1 üzerinden oynama yaparak elde etmeye çalıştım,tanımdan çıkacağı aklıma gelmedi..
Çok teşekkürler:)
F nin turevinde z yi neden ve nasıl cosz aldık? Rica etsem açıklayabilir misiniz
f(x)=sinx için f'(x)=cosx olur..Ortalama değer teoreminin tanımına göreggulcinn'den alıntı:F nin turevinde z yi neden ve nasıl cosz aldık? Rica etsem açıklayabilir misiniz
f'(c)1=f(x)-f(y)x-y
olacak şekilde bir c değeri vardır,öğretmenimiz buna z demiş aynı şey..
f'(z)=cosz olur..Buradan şöyle bir şey buluruz..
cosz1=sinx-sinyx-y
Daima |cosz|≤1 olduğunu göz önüne alalım..Öyleyse sağ tarafta mutlak değerce pay paydadan daima küçük veya eşit olmalıdır,aksi hâlde sağ taraf 1'den büyük değerler alır ki bu da |cosz|≤1 olmasıyla çelişir..
x=y için sağladığı açık,öğretmenimiz çözerken x>y almış ama y>x için de yukarıdaki durum aynen tekrarlanacağından her x,y∈R için bu ifadenin doğru olacağı böylece kanıtlanmış..
Öğretmenimiz çok sık uğramadığından her ihtimâle karşı ben cevap verdim..