Alıntı:

---

aerturk39'den alıntı

doğrusal yüzdüğünü düşünüp uğraştım bu 3 te 1 için sağlıyo 4 te 1 hız için sağlanmıyo siz 4 te 1 hız yeterli oluyo diye yazınca
gölün yarıçapı r olsun göldeki adamın gölün merkezinden 5r/21 yarıçapında daire şeklinde sürekli yüzerse adamın kurttan bir süre sonra r+ (5r/21) lik uzaklığa sahip olur. (çünkü r büyüktür 4.(5r/21) yani adamınkıyıya varmasına 16r/21 kaldı kurtun kıyının o noktasına varmasına pi.r vardır.ozaman adam kurtun 1/x hızıyla yüzüyorsa kurtulması için
16r/21 küçüktür pi.r/x olması gerek buradan

x küçüktür 21.pi/16
yaklaşık olarak 4.12

---

hocam mantığınız benim çözüm mantığımla aynı ama siz neden o 5r/21 uzaklığını da en iyi durum için seçmediniz?

şöyle diyelim
adamın 1 hızında kurtsa k hızında olsun gölün yarıçapı da sırf kolaylık olsun diye k olsun
adam 1 birm yarıçap içinde kurttan daha büyük bir açısal hıza sahiptir ve kurt ne yaparsa yapsın bu kurtla bu 1 birimlik yarıçaplı dairenin ters tarafında olacak şekilde yüzebilir. bu noktadan itibaren kurt için k.∏ lik bir mesafe kalır adam içinse (k-1) birim (kurtla ters istikametten doğruca kıyıya yüzecektir)
adam k-1 birim yolu kurt k∏ birtim yolu tamamlamadan tamalamalıysa
k-1<∏ → k<∏+1~4,14..

şimdi bundan daha hızlıyken kurt hep yakalar bunu da bir cümleyle belirtelim dediğimiz gibi adam o merkezdeki ufak çemberin dışına çıkıp dğruca kıyıya yüzmezse adamın kıyıya yaptığı yaklaşmanın oranı kurtun adamın kıyıdan çıkacağı noktaya yaklaşma oranından az olacaktır (çünkü açısal hızı kurttan daha az) yani adamın bundan daha iyi bir stratejisi olamaz. bu ilk durumda çemberin diğer tarafında bulunma durumuna ise spiral, zigzag vs gibi türlü yollarla varabilir

Alıntı:

---

MatematikciFM'den alıntı

≈4,09
≈4,39
≈4,62
≈4,80
≈4,95
≈5,07
≈5,17
≈5,25
≈5,32
≈5,39
≈5,44
≈5,49
≈5,54
≈5,57

Eğer yanlış görmediysem bu sonuçlar 2 ∏ ≈6,28 e kadar gitmesi lazım.

---

bu sonuçlara nasıl ulaşabiliriz biraz açıklarsanız belki cevabı revize ederiz hocam.

4 te 1 hız sağlanıyor deyince bende r nin 4 te 1 inden küçük sayı seçerek (5r/21)adamın açısal hızının kurttan büyük olmasını sağladım ama dediğiniz gibi en iyi durum için seçmek gerekli
benim cevabım daha çok 4 te 1 hızın kurtulması için yeterli olduğunu göstermeye yönelikti

https://img143.imageshack.us/img143/2971/matkurt.png
https://img143.imageshack.us/img143/5735/matkurt2.png

Çok karışık bir soru hiç bişey anlamadım hep virgüllü değerler çıkmış :)

Bu soru güme gitti üstadım. Yorum yapmadınız?

hocam soruy güme gitmedi ama bi tülü fırsat olup bişeyler yazamadım hep araya başka şeyler girdi

çözümünüzde bir şeyi es geçiyorsunuz hocam sanki kurt adamın hareketini izliyormuş gibi düşünüyorsunuz hayır kurt adamın bulunduğu noktayı takip ediyor yaptığı hareketi taklit etmiyor. adam 1 tur döndü diye kurt gölün etrafını 1 tur dolanmaz. şu 270º yönündeki r/8 lerden şikincisini ele alalım adam oradayken eğer kurt bize göre şelin 1. bölgesindeyse (koordint sistemi gibi düşününce) kurt tur atmaz geriye doğru yani saat yönünde hareketine devam eder çünkü o taraftan adama uzaklığı daha azdır.

yani herhangi bir anda kurt adama hangi noktadan daha çok yaklaşırsa o yolu tercih edecektir.
bu yüzden de adamın herhangi bir anda bulunduğu noktayı yarıçap kabul eden çemberi çizersek adamın bu çember üzerinde açısal olarak hızı kurttan fazla olmadıkça hep kurt adama yaklaşacaktır (gölün çevresi üzerindeki yayın açısal ölçüsünden bahsediyorum)
aertürk hocamızın çözümüne bakarsak orada kurtla açısal olarak max uzaklığa gidilir diyor yani 180º sonra da kıyıya kaçılır. tek mesele bu maksimum açısal uzaklığa hangi çember üzerinde gidileceğini belirlemekte.

Üstadım, bu çözümdeki mantık, adamın kurdu, önce geri dönemeyeceği kadar saat yönünün tersinde koşturup, sonra kendisinin geriye dönüp kıyıya ters taraftan çıkması üzerine kurulu. Kurdun, adamın bulunduğu noktayı gözlediğinin farkındayım. Ben de kurdun adamı en yakın taraftan takip edeceğinin de farkındayım. Adamın kendisine ters yönde yaptığı hareket doğrultusunu takip edip, daha sonra adam geriye döndüğünde, geri dönmek yerine koştuğu yönü takip ederek adamı yakalamak zorunda kalacağı nokta hemen hemen, adamla dikine paralel olarak geleceği noktadır. Kurt için bu andan itibaren devam etmekten başka seçenek yoktur.

hocam öncelikle ben sizn yazdıklarınızdan k=2∏x/(x+2∏-2) buldum. gerçi bu x→ ∞ bu ifade yine 2∏ e yakınsıyacak ama sorun bu ifadenin grçekleştiği koşulların realize edilememesi.

siz x i büyülttükçe ilk başta çizdiğiniz yarım dairenin yarıçapı küçülüyor mesela ve en son çizdiğiniz doğrunun boyu uzuyor. mesela x=10 için en sonda çizdiğiniz doğruca kaçış çizgisinin uzunluğu 0,8R (R=gölün yarıçapı)
kurt herhangi bir anda bu çıkışın en fazla gölün çveresinin yarısı kadar uzağındadır yani ∏R
bu iki sayının birbirine oranıysa ~3,92 yani kurt bu anda 3,92 kat hızlıysa bile yetişir. yani siz x i büyülttükçe kurt yetişmek için zorlanmak yerine daha düşük hızlarda bile kaçışını engelleyebiliyor.
büyük bir k değeri için şekil çizip eşzamanlı kurt ve adam hareketi yaptırırsanız bunu görebilirsiniz

Üstadım, ben sizzin 4,14 lük çözüm yorumunuzdan bir şey anlamadım. Kabaca bir çizim ekler misiniz?

tamam hocam 5 dakika çizip ekliyorum

https://img211.imageshack.us/img211/4300/matdiag.jpg

kolaylık olsun diye gölün yarıçapına k dedik ve kurt k hızında adamsa 1 hızında dedik
içerdeki ufak daire adamın üstün olduğu bölgedir ve içinde istediği noktada bulunbilir çünkü çembrin sınırındaki hızı kurtla aynıdır (açısal hız) içindeyse kurttan hızlıdır ve istediği hareketi gerçekleştirip kurttan önce istediği açısal pozisyona varabilir. bu çemberin dışındaysa kurt her zaman adamdan hızlıdır adam ne yaparsa yapsın kurtla mesafesini açamaz.

adamımız kurtu B noktasına kendisini de A noktasına ya da benzeri 180º farkla konumlanmış 2 noktaya getirebilir , bu anda artık adam kıyıya kendi avantajının bittiğien yakın noktada kurtsa kendisinin kıyadaki en yakın noktasına en uzak noktadadır.
|AC|=k-1
BC yayı = ∏k olduğundan ve kurt bunu k hızıyla alacağından
adamın kaçabilmesi için k-1<∏ ya da k<∏+1~4,14 olmalıdır

Ben böyle anlamadım soruyu. Adam merkezden uzaklaşmaya başladığı anda hareket yönüne göre hemen kurdun harekete geçeceğini düşündüm. Ta ilk çözümümüzde, paradoks12 öğretmenimizin çözdüğü ve benim de onay verdiği çözüm de bu bağlamdaydı. Orada cevap pi çıkıyordu, ama siz burada adam merkezden 1 birim uzaklaşana kadar kurdun hiç hareket etmediğini kabul ediyorsunuz. O yüzden cevap pi+1 çıkıyor. O zaman şu sorulmaz mı? adam bir birim uzaklaşana kadar kurt hareket etmiyorsa 2 birimde de hareket etmeyebilir. Bu tarafı çelişkili geldi bana, ya da ben bu çözümden yine bir şey anlamadım.

kurt hareket ediyor hocam nereden çıkardınız adam 1 birim uzaklaşana kadar hareketsiz beklediğini. adam mesela 0,5 birim uzağa gitsin bu sırada kurt da istediği dairesel hareketi yapsın o an adama bulunacağı en kısa mesafe (k-0,5) birim olur (aralarında 0º açısal mesafe varken)
bu noktada adam dairesel bir hareket yapmaya başlasa kurttan 2 kat hızlı olacağından açıyı 180º ye getirebilir. yani kurtla ters tarafa gidebilir. kurt bunu engelleyemez taa ki adam bu dediğimiz ilk uzaklaşmayı 1 birim yapanakadar bu noktadan snra kurt açısal larak istediğini yapmaya başlayacaktır.

Valla bu haliyle beni aştı soru.

hocam bu çözüm mantığını anladım, ama bende daha önceden yazdıklarınızdan bişeyler yapmaya çalıştım, ama işin içinden çıkamadım, şimdi bu özel bir durum yarı çapların farklı kurdun hızının yarı çaptan farklı olduğu durumlar için nasıl bir çözüm yapabiliriz. örneğin gölün yarı çapı r kurdun hızı k ve adamın hızı a olursa; bu kadar bilinmeyenli olunca ben toparlayamadım bir türlü

gölün yarıçapının hiçbir önemi yok hocam sonuçta hareketi bir kasete kaydetmişiz de gölün yarıçapına göre bir hızda oynatıyormuşuz gibi olur.

burada önemli olan adamın ve kurtun hızları daha doğrusu hızlarının oranı. birine k diğerine a derseniz kurtun hızına k=az dersiniz bu sefer z katı hızında olur. gölün yarıçapı da R olsun
merkezdeki ufak dairenin yarıçapı aR/az=R/z olur , ikisimerkeze göre zıt taraflardayken de adamın kıyıya uzaklığı R-R/z , kurtun adamın kıyadan çıkacağı noktaya uzaklığı ∏R olur
∏R lik yolu az hızıyla aldığı süre R-R/z lik yolu a hızıyla aldığı süreden uzunsa adam kurtulur

(R-R/z)/a<∏R/az → 1-1/z<∏/z → z-1<∏ → z<∏+1 bulunur.

teşekkürler hocam anladım, açıkçası ben kendi başıma bir türlü toparlayamadım, ama siz ve aerturk39 hocamızın yazdıklarından yola çıkarak ancak anlayabildim, ve başlarda yazılanaları anlamaya çalışmak bile beni baya yordu, ama olsun şuanda sorun yok:)

adamın hızı a olsun, kurdun hızı ise k olsun;

adamın açısal hızının kurdun açısal hızına eşit olduğu çemberin yarı çapı x ve gölün yarı çapıda x+y olsun;
(adam x yarı çaplı çembere vardıktan sonra kurt ve adam aynı anda harekete başlarsa ikiside kendi çemberleri üzerinde bir tam turu aynı anda tamamlar)
ama bu çembere varmadan, yani adam x den daha kısa yarı çaplı tüm çemberlerde bir tam turu kurttan daha kısa sürede tamamlar yani, yani kurdu kendisi ile istenen açısal konuma getirebilir.

şimdi işlemler başlasın;
bir tam turu aynı anda başlayıp aynı anda tamamladıkları konumdan yolaçıkacağız.
adamın aldığı yol=2pi.x=a.t
kurdun aldığı yol=2pi.(x+y)=k.t
taraf tarafa oranlanırsa;
a/k=x/x+y olur.
yani adamın hızı x ve kurdun hızı ise x+y kabul edilebilir.

burdan sonra adamın gitmesi gereken yol y kalmıştır. kurt ise kendi çemberinde yarım tur atmak zorundadır.

ve adam kurdu istediği konuma getirdikten sonra harekete geçecek bu süre t olsun; tam kıyıya vardığı anda kurdun ağzına düşecektir. (önce tam aynı anda aynı yere vardıkları duruma göre çözüm yapıp daha sonra adamın hızını birazcıık arttıracağız ki kaçabilsin)

s=v.t formülünden;
adam için;
y=x.t
kurt için;
2.pi.(x+y)/2=(x+y).t
burdan t=pi çıkar.

y=x.t yani y=x.pi

buna göre baştaki kabulümüzü tekrar gözden geçirirsek;
a=x
k=x+y kabul etmiştik,
a=x ve k=x+x.pi
yani adamın hızı x olursa; kurdun hızı x.(1+pi) olur. bu hızlarla adama kıyıya varınca kaçak için fırsat bulamayacaktır. çünkü tam o anda kurta oraya varacaktır.

yani kurdun hızının adamın hızının (1+pi) katından birazcık az olması gerekir

Anladığım kadarıyla burada kurdun bulunduğu nokta, adamın bulunduğu nokta ve çemberin merkezinin her zaman doğrusal olduğu kabul edilmiş. Kurdun, adamın bulunduğu noktayı takip etmesi demek, kurdun, kendisi, adamın bulunduğu nokta ve merkezi doğrusal yapması anlamına mı geliyor? Benim anladığım, kurdun adamın bulunduğu noktayı takip ederken bir taraftan da ona yaklaşmaya çalışması ve hareketlerini ona göre ayarlaması gerekir. Yani bunun için doğrusallıktan çıkması gerekir. O zaman çözüm metodu değişmesi gerekir diye düşünüyorum.

sorudan bağımsız şöyle düşünün, hızı 3v ve v olan iki adam düşünün bunlar aynı çember üzerinde yarışa başlarsa, tabiki 3v hızı olan bir tam turu daha çabuk atacaktır.

ama

hızlar gene 3v ve v olsun;
3v hızı olanın çemberi 100r yarı çaplı, v hızı olanın çemberi ise r olsun; bu kez hangisi tam turu daha erken tamamlar? tabi yavaş olan

şimdi soruya geri dönersek genel mantık olarak; adam önce doğrusal olarak biraz ilerler ( bu ilerleme miktarı daha sonra kullanacağımız çemberin yarı çapı olacak). kurdun hızı kendisinden bir miktar fazla olsa bile uygun konuma gelip çembersel bir harekete başlarsa;
kurt kendi çemberinde hareket edecek ve adamda kendi çemberinde hareket edecek, ama ikiside aynı anda 1 tam turu tamamlayacaktır. işte bu mantıkla önce bu çemberler için adamın ve kurdun hızlarının oranı hesaplanıyor, sonrada adamın hızını azıcık artırarak kurda fark atması sağlanmaya çalışılıyor. ( yada çemberi biraz küçülterekte aynı amaca ulaşabiliriz)

Başlangıç için muhtemel olan iki durumu inceleyelim.
1. durum
Adam hiç dairesel hareket etmeden kurdun tersi yönünde hareket etmeye başlasın. Adam harekete geçmeye başladığı andan itibaren kurdun bunu durup izleyeceğini nasıl kestirebiliyorsunuz anlayamadım. Benim tahminim, kurt adam merkezden uzaklaşmaya başladığı andan itibaren harekete geçmesi gerekir. Yani zannedersem sizin verdiğiniz ilk yanıttaki mantık geçerli olur. O zaman oran pi olur.
2. durum
Adamın bahsettiğiniz 1 birimlik yarıçaplı daire içinde sağa sola ya da dairesel hareketler yapıp 1 birimlik çemberin üzerine geldiğinde (bu arada kurdun da ilk konumuna geldiğini farz ederek )harekete geçeceğini belirtmişsiniz. Şekilde verilen konumdan sonra , yani adam merkezden uzaklaştıktan sonra , kurdun tekrar ilk konumuna döneceğini kabul etmek yanlış olmaz mı? Eğer bu kurt denildiği kadar akıllıysa, ilk konumuna dönmek yerine bulunduğu yerde kalır, Çünkü zaten adam merkezden uzaklaşmıştır ve karşı tarafa daha da yakınlaşmıştır. Herhalde bunu hesap eder. O zaman verilen çözüm de buna göre değişir.

1. kurt onu durup izlemeyecek hr mantık sahibi gibi adamın kıyıya varış noktasına doğru harekete geçecektir . yolu simetrik olacağı içinde ikisinden birini rastgele seçecektir.

2.burada kurdun ilk konumuna döndüğünü vasaymıyoruz. adamın ufak çemberin hakimi olduğu düşüncesinden hareketle kurtla istediği açısal pozisyonu o ufak çemberin sınırları içindeyken ayarlayabileceğini söylüyoruz. kendisi için en avantajlı açısal pozisyon da 180º yani kendisi ve kurt tam merkeze göre zıt konumdayken oluyor. kurt nerde durursa dursun ya da nasıl hareket ederse etsin adam onun tam zıttı pozisyona kurttan daha hızlı olduğu için ulaşabilir. bu zıttı noktadan da doğrusal bir harektle kıyıya kaçacaktır.

kurt tabiki oturup bakmıyor oda hareket ediyor ama belli bir yere kadar elinden hiç bişey gelmiyor şöyle örnek vereyim;
diyelimki adam hızı çok yavaş bile olsa sadece suda 1 kulaç atsın bu arada kurt ise ışık hızıyla :) hemen adamın harekte başladığı yöne geçip ağzını açıp adamın gelmesini beklesin ( ışık hızı biraz abartı tabi)

adam kurdun kendisini beklediğini görünce harekete başladığı taşın etrafında çembersel bir harekete başlıyor, kurta bunu görüp oda adamın hareketine göre oda gölün etrafında çembersel harekete başlamak zorunda kalır (ama aslında boşuna yoruluyor) burda adam sadece bir kulaç attığı için kendi çemberi üzerinde bir tam turu kurttan önce tamamlar çünkü kurdun tam turu atması için baya bir yol alması gerekiyor. hızı adamın 10 katı olsa bile adam bir turu daha çabuk atabilir.

yani ikiside çembersel hareket ederken adam kurdu kendisinden mümkün olan en uzak noktaya getirecek kadar hıza sahiptir. (örneğin adam 1 kulaç ilerledi kurtta adamın olduğu tarafa geçip adamın gelmesini bekledi, bu andan itibaren adam kendi çemberinde tab bir tur atsın kurtta onu takip edip kendi çemberinde adamı takibe başlasın, ama adam tam tur atarsa kurtda sadece yarım tur atabilir, hatta yarım turu bile tamamlamaş olabilir. sadece örnek verdim, böylece adam kurdu kendisinde uzaklaştırdı, daha doğrusu kurttan uzaklaştı, bundan sonra adam kafadan 1 kulaçlık kazanç sağlamış oldu, çünkü bu çembersel hareketi yapmasaydı, merkezden kaçması gerekecekti ama şimdi kurt gene aynı yerde ama o 1 kulaç ilerlemiş oldu

Tamam.

en az değeri sorulduğu için aralarındaki mesafe en uzak olmalıdır yani adamın yüzeceği yerle kurtun beklediği yer arasında 2r kadar mesafe olmalıdır bu durumda adam r kadar yüzmesi lazım kurtunda çevrenin yarısı kadar koşması lazım yani pi.r kadar bu durumda 1/pi sinden daha hızlı olması lazım yani sınır 1/pi