Bugün dünyada bilişim teknolojisine dayalı hızlı bir değişim süreci yaşanmaktadır. Bu teknoloji, insan düşünce gücünü etkileyerek sistematik bilgiye güç katan bir dönemi beraberinde getirmiştir. Aslında bilişim teknolojisi; sistematik bilgiye dayalı, insana özgü alt davranışları ve yetenekleri kazandırma çabalarına yönelik yazılımlarla işlerlik kazanan bilgisayar ve iletişim alt yapılarından oluşur.

İçinde yaşadığımız yüzyılda matematik, geometri ve algoritmalar; problem çözmede, kavramsal anlamada ve anlamlandırmada yapısalcı yaklaşımlar matematik eğitimini dramatik biçimde değiştirmiştir. Bu değişim sürecinin hızlanmasında bilişim teknolojileri çok önemli rol oynamaktadır.

Bilgisayar donanımı, yazılımı ve iletişiminden oluşan bilişim teknolojisinin kendi içinde hızla gelişmesi, bilimsel yaklaşımları, eğitim ve öğretimdeki yeni yaklaşımları ve tüm sektörleri doğrudan etkileyerek uygulamaya yönelik yeni tekniklerin oluşturulup gelişmesine neden olmaktadır. Kısaca zihinsel üretkenliğinin öneminin arttığı bir dönemi beraberinde getirmiştir.

Bilgisayar destekli matematik öğretiminde, bilgisayarlar bir seçenek değil, sistemi tamamlayıcı bir rol üstlenmektedir.

Bu yöntem bilgisayarın, bir öğretim aracı ve öğretmen rehberliğinde interaktif çalışmalarla öğrenmenin meydana geldiği bir ortam olarak kullanılması esasına dayanır. Burada öğretmen, öğrenci çalışmalarını gözler ve keşfetme tekniklerine göre onları yönlendirir. Sınıfta, öğrenciler ne yaptıklarının farkında olmadan sık sık hata yapabilirler. İnteraktif yaklaşım sürecinde öğretmen rehberliği, öğrencilerin hatalarını düzeltmelerini kolaylaştırır, böyle bir ortamdaki öğrencilerin uygulama ve deneyimleri keşfetmeye dayalı becerilerini geliştirir.

Genel olarak keşfetme etkinlikleri, öğretmen rehberliğinde yapılmalıdır. Öğretmen, öğrenmeyi kolaylaştıracak etkin materyaller hazırlamalıdır. Hazırlanan materyaller; bilgisayar destekli öğretimin yapısalcı yaklaşım esaslarına göre düzenlenmiş bir içeriğe sahip olmalıdır.

Bilgisayar destekli öğretim; yazılım, donanım, öğretmen eğitimi, laboratuvar ve yardımcı personel eğitimi gibi temel bileşenlerden oluşur. Bu bileşenlerden her biri bilgisayar destekli öğretimde önemli rol oynar.

Bilgisayar Destekli Matematik Öğrenme ve Öğretmede Temel Ögeler

Bilgisayar, giriş bilgilerine bağlı olarak istenen sonuç bilgilerini üreten bir makinedir. Bilgisayarların, insan denetiminde, belleme, karar verme, hesaplama, görselleştirme ve kayıt tutma gibi üstün nitelikleri vardır. Ancak, fizil sel yapısı ile düşünüldüğünde kendi başına yetenekleri çok fazla fakat işlerliği olmayan bir makinedir. Bilgisayarların üstün nitelikleri ancak programlandığında ortaya çıkar.

Bir bilgisayar, donanım ve yazılımla işlerlik kazanır. Bilgisayar sisteminin elektronik ve mekanik parçalarına topluca bilgisayar donanımı denir. Bilgisayar donanımına işlerlik kazandıran programlar, çözümlemeler, programlama dilleri, derleyiciler ve işletim sistemleri topluca bilgisayar yazılımı olarak adlandırılır.

Kuralların tanımı, bilgisayarın yapmasını istediğimiz işlemlere göre değişeceğini göstermektedir. Bu nedenle bilgisayarlar, yaptıracağımız işe dayalı tanımlayacağımız matematiksel kurallarda (algoritmanın kurulmasında) biz insanlara, sınırsız özgürlük vermektedir. Yeter ki bu kuralları tanımlama becerilerini kazanmış olalım ve kuralları sistematik bilgi biçiminde ifade edebilelim. Kuralları tanımlama matematik öğretiminde etkin rol oynadığı unutulmamalıdır.

Bir problemin çözümü için gerekli olan sonlu sayıdaki işlemleri adım adım komutlarla sembolik olarak belli bir mantıksal sırada tanımlayan düzene ya da hesaplama yöntemine algoritma denir.

Algoritmalar, “Başla” komutu ile başlar “Dur” komutu ile noktalanır. Aslında, algoritma bir sistematik bilgidir. Bir probleme ait matematiksel modelin çözümü için kullanılabilecek algoritmalar arasında birinin seçimi için çeşitli nedenler öne sürülebilir. Ancak, algoritmanın hızı (işlemlerde olduğu zaman) ve elde edilen sonuçlar algoritmanın seçimini etkileyen en önemli iki faktördür. Görevleri aynı olan algoritmalar arasında seçim yapılırken hızlı olan algoritma tercih edilir.

İnsanlar, bilgisayarlarla programlama dilleri aracılığı ile iletişim kurarlar. Bu nedenle, programlama dilleri matematiksel olarak tanımlanabilen dillerdir. Pascal, C, Prolog ve benzerleri birer programlama dilidir. Programlama dilleri, bilgisayarlara bir işin nasıl yapılacağını aktaran kurallar içerir. Program, bir problemi çözmek ya da öğrenmek için gerekli işlemlerin saptanması ve tanımlaması ile işlemlerin sırasının belirlenmesi olarak ifade edilebilir. Diğer bir şekli ile verilen bir problemi çözmek ya da öğrenmek için kurulacak bir algoritmanın, bir programlama dilinde kodlanmış biçimine program denir. Üst seviyedeki programlara yazılım denir.

İşletim sistemi, bilgisayarların çevre birimleri ve dış dünya ile iletişimini sağlayan üst düzeydeki yazılımlardır.

Yazılan programın bilgisayara yüklenip işlerlik kazanabilmesi için o programlama dilinin derleyicisi, bilgisayara yüklenmiş olmalıdır. Aksi durumda, o programlama dilinde kodlanmış program bilgisayarda çalıştırılamaz.

Program bilgisayara yüklendikten sonra, önce derleme işlemi yapılır. Eğer derleme hatası yoksa bilgisayardan sonuç alınır. Aksi durumda, derleme hatası düzeltildikten sonra tekrar aynı program denenir. Derleyiciler, kodlanan programı bilgisayarda makine diline dönüştürür. Makine diline çevrilmiş program, bilgisayarın fizik sel birimlerini programdaki komutlara göre harekete geçirerek işlem yapmasını sağlar ve beklenen sonuçları üretir.

Program (yazılım) geliştirme, bir problemin bilgisayarda çözümü ya da öğretimi için, insan düşüncesi ve buluşçu yaklaşıma dayalı olarak, gerekli olan komutların, belli bir mantık yapısı içinde ifade edilmesine dayanır. Bu süreç üç aşamadan oluşur:

1.Problemin matematiksel çözümünü yapmak,
2.Matematiksel çözümü yapılan problemin algoritmasını kurmak,
3.Algoritmayı belli bir dilde kodlamak, başka bir ifade ile programı yazmaktır.

Yazılan program, bilgisayara yüklenir ve derleme işleminden sonra eğer hata yoksa beklenen sonuç bilgisayardan alınır.

Programın geliştirilmesinin en önemli aşamasının, problemin matematiksel çözümü ve algoritmanın kurulması olduğu unutulmamalıdır.

Bilgisayar Cebir Sistemleri

Bilgisayar cebir sistemleri, matematik ve teknolojinin gelişimine paralel olarak matematiksel işlemleri sembolik olarak kendi doğası içinde hatasız yapabilen araçları keşfetme gayretinin bir ürünüdür. Her çağda, matematiksel işlemleri kolaylaştıran araçlar yapılmıştır. Şu anda hâlâ ilköğretim okullarında kullanılan abaküs de bu araçlara örnek olarak gösterilebilir.

Günümüzde sıkça kullandığımız hesap makineleri ise sayısal yöntemler ile hesaplamalar yapılabilen teknolojik araçlardır. Sayısal işlemlerde kullanılan hesap makineleri ile sadece sayılar üzerinde işlemler gerçekleştirilmektedir. Bu tür işlemler, bazen ondalık sayılarda hataları da beraberinde getirir.

Matematiksel hesaplamalar, sembolik ve cebirsel hesaplama ya da bilgisayar cebiri olarak adlandırılan ve kısaca, matematiksel nesnelerin gösteriminde kullanılan semboller üzerinde işlem yapma esaslarını içerir. Bu semboller; tam sayılar, rasyonel sayılar, gerçek sayılar ya da karmaşık sayılar gibi sayıları gösteren semboller olabilecekleri gibi daha çok, soyut cebirsel nesneleri gösteren semboller olabilirler. Bu nedenle bilgisayar cebir sistemleri, matematiksel objeler üzerinde analitik olarak işlem yapabilme olanağı sağlar. Bu özelliklerin bazılarını, çizelgede verilen hem sayısal hem de sembolik işlemlerde görebiliriz.



Amaçları sembolik hesaplama işlemlerini gerçekleştirmek olan ancak; sayısal hesaplamaları ve grafiksel çizimleri de yapabilen üst düzeydeki bilgisayar yazılımları genel olarak bilgisayar cebir sistemleri olarak adlandırılır. Sac, Macsyma, Reduce, Magma, Derive, Maple, Axiom, Mathematica ve benzerleri birer bilgisayar cebir sistemi yazılımlarıdır. Bunlar arasında Maple; sayısal ve sembolik hesaplamalarda, grafik çizimlerinde, animasyonlarda, ve matematik öğretiminde kullanılan en güçlü bilgisayar cebir sistemlerinden biridir.

Matematiksel objelerin hayatını analiz edebilmek, anlamlarını bu yapı içinde algılayarak onunla pratikte oynayabilmek, insanoğlunun dün olduğu gibi bugün de merak konusu olmuştur.

Matematiksel objelerin zihinde yapılandırılması için gerçek hayattan seçilecek fizik sel modellerle anlamlandırılması, öğrenen kişinin, beklenen ilişkiyi o modelden oluşturabilmesine bağlıdır. Bu doğrultuda bilgisayar cebir sistemleri ile matematik öğretiminde, öğrenmeyi düşünebilmek için kuramsal çalışmalar başlatılmıştır.

Bilgisayar cebir sistemleri ile matematikteki temel kavramların öğretimi için geometrik, iş birlikçi ve yapısalcı öğretim yaklaşımları esaslarına dayalı 1990 yılında yapılan reform çalışmalarında elde edilen etkin sonuçlar, bilgisayar cebir sistemleri ile matematik öğretimi alanındaki çalışmaları hızlandırmıştır.

Bilgisayar cebir sistemleri, karmaşık hesaplama işlemlerini azaltarak, öğrencilerin problemleri analiz yapmalarını hızlandırır. Özellikle bu süreçte, farklı koşullar için arzu edilen sayıda interaktif işlemler yaparak yeni deneyim kazanma fırsatını bulurlar. Böylece, soyutlama sürecinin anlaşılmasındaki sıkıcılıktan öğrencileri uzaklaştırarak işlemsel ve kavramsal ilişkileri gözlemelerine olanak sağlanmış olur.

Bilgisayar ortamında, matematiği öğrenme-öğretme sürecinde matematiksel kavramların dayandığı bilişsel araçların kullanılacak yazılımlara bağlı olarak problem çözme ve düşünme becerisinin kazanılmasında etkin rol oynar.

Bilgisayar cebir sistemlerini görselleştirme sürecinde, matematiksel modellemeler, matematik kavramlarının grafiksel ve geometrik gösterimleri önemli avantajlar sağlayarak kalıcı öğrenmeyi kolaylaştırmaktadır.

Kavram geliştirme ile ilgili araştırmalar incelendiğinde bireylerin bilişsel yapılarının ne kadar karmaşık olduğu ortaya çıkmaktadır. Özellikle, öğrenciler zaman zaman yanlış sebeplerle doğru sonuçlar bulurken bazen de doğru sebeplerle yanlış sonuçlar bulabilmektedirler. Öğrencilerin yaptıkları bu hataların sebepleri arasında önceden öğrenilmiş kavram yanılgılarının olduğu bilinmektedir.

Kavram yanılgılarının üstesinden gelebilmenin yollarından biri de bilgisayar yazılımları yoluyla öğrencilerin kavram yanılgılarının farkına varmalarıdır. Böylece öğrenciler, bu kavram yanılgılarını düzeltme olanağı bulurlar.

Günümüzde matematik öğretiminde, matematiksel kavramların keşfedilmesine yönelik cebirsel işlem yapabilen hesap makineleri ve bilgisayar cebir sistemlerinin pedagojik bir araç olarak etkin kullanımı olduğu bilinmektedir.

Öğrenme teorilerinin epistemolojisine göre keşfetme süreci aşağıdaki basamaklarla ifade edilir:

1.Bilinen algoritmalar uygulanarak yeni örnekler bulunur. Bu örneklerde, önce ilişkiler interaktif olarak gözlenip keşfedilir. Sonra deneyimlerle bulunan ilişkiler, özelliklerine göre sınıflandırılır ve sonuç çıkarılır. Bulunan sonucun doğruluğu gösterilir. Daha sonra doğruluğu kanıtlanan matematiksel ilişkiler genelleştirilir. Böylece elde edilen genel ifade (teorem), örneklerde gözlemlenen özelliklerin doğruluğunu garanti eder.

2.Bulunan genel ifade, algoritmik bir dilde ifade edilir. Elde edilen yeni algoritma, yeni verilere uygulanarak yeni örnekler ve yeni gözlem sonuçları bulunur. Öğrenci, kendi bilişsel yapılarını kullanarak gözlem sonuçlarından mantıksal ilişkilendirmeleri yapabilene kadar keşfetme ve genelleme süreci devam eder. Aksi durumda, süreç sonlanır ve ilgili matematiksel problem ya da kavrama yönelik öğrenme gerçekleşmemiş olur.

Bruno Buchberger’un önerdiği yukarıdaki buluşçu yaklaşımının genel yapısı aşağıdaki biçimde modellenebilir.


Bruno Buchberger’un buluşçu yaklaşım döngüsü, aşağıdaki evrelerden oluşur. Matematiksel kavramları keşfetme sürecinde deneyim kazanmak için bilinen algoritmalar uygulanarak yeni örnekler bulunur ve gözlemler elde edilir. Bu gözlemler arasındaki mantıksal ilişkilerden tahmini sonuçlar çıkarılır. Tahmini sonuçların doğruluğu ispatlanarak genel sonuca ulaşılır. Elde edilen sonucun algoritması kurulur. Bu algoritmalar, gerçek ya da kurgusal verilere uygulanır. Böylece döngü devam ederek görselleştirme ile keşfetme süreci gerçekleşmiş olur.

Görselleştirme, burada bir nesnenin ya da önermenin ya da işlemin arkasındaki esasları görebilmemizi sağlayan dinamik bir resmi temsil etmektedir. Bu süreçte elde edilecek sonuç, bir grafik, sayı ya da cebirsel bir ifade olabilir.

Görselleştirme, matematiği öğretmenin bir tekniğidir. Tipik bir örnek olarak a parametresinin y=ax2 fonksiyonu ile verilen eğrinin grafiğine nasıl etki ettiğini gözleyebiliriz.

Matematikte problem çözme, gerçek hayat problemlerinin çözümü için matematiksel araçları kullanabilme yeteneğidir. Problem çözme süreci, aşağıdaki modelde gösterildiği gibi üç aşamadan oluşur.

Birinci aşamada; bir model seçilir ve gerçek hayat problemleri o model dili içinde ifade edilir. Bu yaklaşım, problemi anlamamızı ve kavramamızı sağlar.
İkinci aşamada, problem modelini (PM) çözmek için, seçilecek uygun algoritmaya göre kurulan modelin çözümüne ulaşılır.
Üçüncü aşamada, modelden elde edilen çözüm (Ç), gerçek hayat probleminin çözümü ile ilişkilendirilir.

Kaynak: MEB Lise Matematik Programı