Yarım Açı Formülleri

cos 2α = cos²α−sin²α ( sin²α = 1−cos²α ve cos²α = 1−sin²α kullanılarak formül düzenlenirse)

cos 2α = 2.cos²α −1 ve cos 2α = 1−2.sin²α

sin 2α = 2.sinα.cosα

tan 2α =

2.tanα

1−tan²α

cot 2α =

cot²α -1

2.cotα

Formüllerin İspatları

Iki yayın toplam yada farkının trigonometrik oranları (toplam fark formülleri),Dönüşüm ve ters dönüşüm formülleri ve Yarım Açı Formüllerinin ispatlarını buradan indirebilirsiniz

ÖRNEK 1:

sinx+cosx=

2

3

olduğuna göre, sin2x'in değeri kaçtır ?

ÇÖZÜM 1:

bize verilen ifadenin karesini alırsak

sin²x+2cosx.sinx+cos²x=

4

9

sin2x=2sinx.cosx olduğunu ve sin²x+cos²x=1 olduğunu biliyoruz.

sin2x=

4

9

−1

sin2x=−

5

9

ÖRNEK 2:

cos⁴(pi/12) - sin⁴(pi/12)


ÇÖZÜM 2:

x⁴ - y⁴ = (x² - y² ).(x² + y²) özdeşliğinden

cos⁴(pi/12) - sin⁴(pi/12) = [ cos²(pi/12) - sin²(pi/12)]. [ cos²(pi/12) + sin²(pi/12) ] { cos²a+sin²a=1 olduğundan }

= [ cos²(pi/12) - sin²(pi/12)].1 { cos²a-sin²a=cos2a olduğundan }

= [ cos²(pi/12) - sin²(pi/12)]=cos(2pi/12)=cospi/6=cos30=√3/2




ÖRNEK 3:

cos4=x sin82=?

ÇÖZÜM 3:

sin82=cos8

cos2a=2.cos²a - 1 olduğundan
cos8=2.cos²4 - 1
sin82=cos8=2.x² - 1

Örnek :

1 - cos2x

1 + cos2x

=?

cos2x=1 - 2.sin²x
cos2x=2.cos²x -1 ifadeleri kullanılırsa

1 - cos2x

1 + cos2x

=

1 - (1 - 2.sin²x)

1 + 2.cos²x -1

=

2.sin²x

2.cos²x

= tan²x

Örnek :

1 + cosx + cos2x

sinx+sin2x

=?

1 + cosx + (2cos²x-1)

sinx+(2.sinx.cosx)

=

cosx.(1 + 2.cosx)

sinx.(1+2.cosx)

=

cosx

sinx

= cotx

Örnek : sin100=x ise cos10.cos20.cos40.cos80 ifadesinin x cinsinden değeri nedir ?

Verilen ifadede cos10 yanına çarpım olarak sin20 getirerek 2.sinx.cosx=sin2x elde edilerek gider.

cos10.cos20.cos40.cos80 = [2.sin10.cos10.cos20.cos40.cos80]/[2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = [sin20.cos20.cos40.cos80]/[2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = [2.sin20.cos20.cos40.cos80]/[2.2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = [sin40.cos40.cos80]/[2.2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = [2.sin40.cos40.cos80]/[2.2.2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = [sin80.cos80]/[2.2.2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = [2.sin80.cos80]/[2.2.2.2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = sin160/[16.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = sin20/[16.sin10]=[2.sin10.cos10]/[16.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = cos10/8=x/8


Örnek : sin7+cos7=√a olduğuna göre cos28 ifadesinin eşiti nedir ?



(sin7+cos7)²=a

sin²7+2sin7.cos7+cos²7=a

sin14=a-1

cos28=1-2sin²14

=1-2(a-1)²

=-2a²+4a-1 bulunur.


Örnek :

cosx=m olduğuna göre cos3x'in m cinsinden değeri nedir ?



cos(3x)=cos(x+2x)=cos2x.cosx-sin2x.sinx

=(2cos²x-1).cosx-(2sinxcosx).sinx

=(2cos²x-1).cosx-(2sinxcosx).sinx

=2cosx³x-cosx-2(1-cos²x).cosx

=2cos³x-cosx-2cosx+2cos³x

=4cos³x-3cosx

=4m³-3m bulunur.