Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler Formülleri

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

Tam Kare Özdeşliği:
İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)² = a² + 2ab + b²

İki Terim farkının Karesi : (a − b)² = a² − 2ab + b²

Üç Terim Toplamının Karesi: (a +b + c)² = a² + b² + c² + 2.(ab + ac + bc)

İki Terim Toplamının Küpü: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

İki Terim Farkının Küpü : (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

İki Kare Farkı Özdeşliği: a² – b² = (a + b).(a – b)


xⁿ + yⁿ veya xⁿ − yⁿ biçimindeki polinomların Özdeşliği

İki küp Toplamı : a³ + b³ = (a + b).(a² – ab + b²)

İki küp Farkı : a³ − b³ = (a − b).(a² + ab + b²)


a⁴ – b⁴ = (a² + b²).(a + b).(a – b)

a⁵ + b⁵ = (a + b).(a⁴ – a³b + a² b² – ab³ + b⁴)

a⁵ – b⁵ = (a – b).(a⁴ + a³b + a² b² + ab³ + b⁴)


a⁶ – b⁶ = (a – b).(a² + ab + b²).(a+ b).(a² − ab + b²)

a⁷ + b⁷ = (a + b).(a⁶ – a⁵b + a⁴b² – a³b³ + a²b⁴ – ab⁵ + b⁶)

a⁷ – b⁷ = (a – b).(a⁶ + a⁵b + a⁴b² + a³b³ + a²b⁴ + ab⁵ + b⁶)


Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

x² + y² = (x + y)² – 2xy

x² + y² = (x – y)² + 2xy
(x – y)² = (x + y)² – 4xy

(x + y)² = (x – y)² + 4xy

x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy (x – y)

x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy (x + y)

x² + y² + z² = (x + y + z)² – 2 (xy + xz + yz)



Çarpanlara Ayırma Soruları İndirme Linki

* a.x+b.x= (a+b).x

* x²+2x=x.(x+2)

* x²y+y=y.(x²+1)

* x²-2xy=x.(x-2y)

* (x+2).b+a.(x+2)=(b+a).(x+2)

*

a²-2ab

2b²-ab

=

a(a-2b)

-b(a-2b)

= -

a

b

*

a²x-ax²

a-x

=

ax(a-x)

a-x

=ax

* ax+bx+ay+by=x.(a+b)+y.(a+b)=(x+y).(a+b)

* x³-x²+x-1=x².(x-1)+(x-1)=(x-1).(x²+1)

* xy-4x-4y+16= x(y-4)-4(y-4) = (y-4).(x-4)

*

a²-ba-a+b

a-1

=

a(a-b)-(a-b)

a-1

=a-b

*

4ab-2a-2b²+b

2a-b

=

2a(2b-1)-b(2b-1)

a-1

=

(2b-1).(2a-b)

2a-b

=2b-1

*

3ab-3xb+xy-ay

x-a

=

3b(a-x)-y(a-x)

x-a

=

(a-x).(3b-y)

x-a

=

(x-a).(y-3b)

x-a

=y-3b

.

x²-y²=(x-y).(x+y)


* x²-1=(x-1).(x+1)

* a²-4= a²-2²= (a-2).(a+2)

* 4a²-1= (2a)²-1²= (2a-1).(2a+1)

* 9-16x²= 3²-(4x)²=(3-4x).(3+4x)

* x² -

4

y²

=x² - (

2

y

)²=(x-

2

y

).(x+

2

y

)

* (a+1)²-(a-1)²=[a+1-(a-1)].[a+1+(a-1)]=2.2a=4a

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²



* (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc)

* (x+1)²=x²+2x.1+1²=x²+2x+1

* (x-3)²=x²-2.x.3+3²=x²-6x+9

* (2x-3y)²=(2x)²-2.2x.3y+(3y)²=4x²-12xy+9y²

* (x-

1

x

)²= x²-2.x.

1

x

+

1

x²

= x²-2+

1

x²

* (x+

1

x

)²= x²+2.x.

1

x

+

1

x²

= x²+2+

1

x²

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³



* (x+2y)³= x³+3.x².2y+3.x.(2y)²+(2y)³= x³+6x²y+12xy²+8y³


* (2a+3b)³= (2a)³+3.(2a)².3b+3.2a.(3b)²+(3b)³= 8a³+36a²b+54ab²+27b³


* (2x-y)³= (2x)³-3.(2x)².y+3.2x.y²-y³= 8x³-12x²y+6xy²-y³


* (3a-4b)³= (3a)³-3.(3a)².4b+3.3a.(4b)²-(4b)³= 27a³-108a²b+144ab²-64b³

x³-y³ = (x-y).(x²+xy+y²)
x³+y³ = (x+y).(x²-xy+y²)


* x³+1 = (x+1).(x²-x+1)

* x³+8 = x³+2³= (x+2).(x²-x.2+4)

* x³-125 = x³-5³= (x-5).(x²+x.5+25)

* 8x³-64 = (2x)³-4³= (2x-4).[(2x)²+2x.4+4²]= (2x-4).(4x²+8x+16)



https://www.matematiktutkusu.com/for...rkitoplami.png

ax²+bx+c ifadesi çarpanlara ayrılırken, ax² terimi iki çarpan haline getirilecek (m ve n olsun) ve c terimi de iki çarpan haline getirilecek (p ve r olsun). Bu dört çarpan ikişer ikişer birbirleri ile çarpılıp toplandığında bx terimini verecek şekilde şeçilirler. Diyelim ki bu bx ifadesini m.p+n.r vermiş olsun.

O zaman çarpanlara ayrılmış hali ax²+bx+c=(n+p).(m+r) dir.



Örnek: x²+12x+32 ifadesini çarpanlarına ayıralım.

x²=x.x
32=8.4

8 çarpanı ile x çarpanı çarpılıp 8x, 4 çarpanı ile x çarpılıp 4x bulunur. 8x+4x toplamı x²+12x+32 ifadesindeki ortadaki terim olan 12x vermektedir.

O zaman x²+12x+32 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali şöyledir.

x²+12x+32=(x+8).(x+4)




Örnek: 20x²-x-12 ifadesini çarpanlara ayıralım.

20x²=4x.5x
-12=-4.3

-4.4x=-16x ve 3.5x=15x ve -16x+15x=-x olup 20x²-x-12 ifadesinin ortasındaki terimi verdiğinden.

20x²-x-12=(5x-4).(4x+3)




Örnek: 6x²+11x+3 ifadesini çarpanlara ayıralım.

6x²=3x.2x
3=3.1

3.3x+1.2x=11x olduğundan 6x²+11x+3 ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali 6x²+11x+3=(3x+1).(2x+3) tür.