Problemlerde Kullanılan Bağıntılar

Kar-Zarar Problemleri

Maliyet:100 %20 kar Satış:100+20=120

Maliyet:100 %20 İndirimli Satış:
100-20=80

İndirimli satışın üzerinden %20 karlı satış:

80.%120=(80.120):100=96


YÜZDE PROBLEMLERİ

Yüzde, paydası 100 olan kesirlere denir.

Örneğin, yüzde 50 (%50)= 50/100 = 1/2
Yüzde 20 (%20) = 20/100 = 1/5



FAİZ PROBLEMLERİ

f = a.n.t / 100 (yıllık faiz)
f = a.n.t / 1200 (aylık faiz)
f = a.n.t / 36000 (günlük faiz)
!(a anapara, n faiz yüzdesi, t zaman, f faiz)



SAAT PROBLEMLERİ

|30.saat(akrep)-5,5.dakika(yelkovan|=kollar arasındaki açı



HAREKET PROBLEMLERİ
Yol: x
Hız: v
Zaman: t

Yol= Hız . Zaman x=v.t
Hız = Yol / Zaman v=x/t
Zaman= Yol / Hız t=x/v

!Hareketliler aynı anda ve zıt yönde ise x = (v1 + v2). t
Hareketliler aynı anda ve aynı yönde
ise x = (v1 - v2). t

! Nehir problemlerinde ise her zaman kayığın hızından akıntının hızı çıkartılır.


YAŞ PROBLEMLERİ
Bir kişinin yaşı x olsun,
T yıl önceki yaşı : x-T
T yıl sonraki yaşı : x + T olur.

!İki kişinin yaşları oranı yıllara göre orantılı değildir.

n kişinin yaşları toplamı b ise

T yıl sonra b + n.T
T yıl önce b - n.T

! Kişiler arasındaki yaş farkı her zaman aynıdır.

x yıl öncede yaş farkı a-b
x yıl sonrada yaş farkı a-b
Katlar ve oranlar hangi yılda verildiyse

denklem o yılda kurulur.



İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ
Bir işi;

A işçisi tek başına a saatte,

B işçisi tek başına b saatte,

C işçisi tek başına c saatte

yapabiliyorsa;
İş t saatte bitiyorsa
1/a + 1/b + 1/c = 1/t olur.

A işçisi 1 saatte işin 1/a sını bitirir.
A ile B birlikte t saatte işin

(1/a + 1/b).t sini bitirir.
A işçisi x saatte, B işçisi y saatte
C işçisi z saatte

çalışarak işin tamamını bitirdiklerine göre üçü birlikte işi k saatte bitiriyorsa,
k/x + k/y + k/z = 1 olur.

!Havuz problemleri işçi problemleri gibi çözülür.

A musluğu havuzun tamamını a saatte doldurabiliyor.

Tabanda bulunan B musluğu dolu havuzun tamamını tek başına b saatte boşaltabiliyor

olsun.

Bu iki musluk birlikte bu havuzun t saatte

(1/a - 1/b).t sini doldurur.

Bu havuzun dolması için b > a olmalıdır.
Eğer havuz t saatte doluyorsa
1/a - 1/b = 1/t
Havuz dolduruluyorsa dolduran musluk (+), boşaltan musluk (-) alınır.
Havuz boşaltılıyorsa dolduran musluk (-), boşaltan musluk (+) alınır.

Eline sağlık Melek.
İki küçük ekleme yapayım.
1- Faiz formüllerinde; faiz oranının, yıllık faiz oranı olarak yazılması gerekir.
2- Yüzde problemlerinde kullanılan temel formül:
Yüzde payı=Temel Sayı x Yüzde Oranı

Örnek 1 - Kâr Zarar Problemi

Bir satıcı 60 yumurtayı 200 liradan alıp %25 karla satmak istemektedir. Fakat yumurtaların bir miktarı kırık çıkmıştır. Sağlamları %40 karla, kırıkları %10 zararla satarak düşündüğü karı sağladığına göre sağlam yumurta sayısı kaçtır?

Çözüm 1

200 lira harcadığına göre %25 kar edebilmek için eline 250 lira geçmesi lazımdır. Sağlam yumurta sayısına x dersek, kırık sayısı 60-x olur.

Yumurtanın tanesini 200/60=10/3 liradan almıştır.

x.

10

3

.

140

100

+(60-x).

10

3

.

90

100

=250

Eşitliği çözülürse x=42 olarak bulunur.

Örnek 2 - Yüzde Problemleri

%40'ı erkek olan 60 kişilik bir sınıfta erkek öğrencilerin yarısı sınıftan ayrılıp yerine 2 kız öğrenci geliyor.
Buna göre son durumda sınıftaki öğrencilerin yüzde kaçı erkektir?


Çözüm 2

Kaç öğrencinin erkek olduğunu bulalım,

40.60/100=24 öğrenci erkektir. 36 öğrenci de kız olacaktır.

Erkeklerin yarısı yani 12 öğrenci ayrılıp 2 kız öğrenci gelirse,
Sınıftaki öğrenci sayısı 60-12+2=50 olur.
Bu 50 öğrencinin 12 tanesi erkektir.

12/50=24/100
%24 erkek öğrenci vardır.

Örnek 3 - Faiz Problemleri (ÖSS 1994)

Bir bankaya 15 aylığına yatırılan paranın kendisi kadar faiz geliri getirmesi için uygulanacak yıllık faiz oranı yüzde kaç olmalıdır?


Çözüm 3

f = a.n.t / 100

Formülde yerine yazalım, f=a olması isteniyor.

a=a.n.t/100
n.t/100=1
n.t=100 olmalı.

15 ay = 1,25 yıl

1,25.n=100
n=100/1,25
n=75 olarak bulunur.

Örnek 4 - Saat Problemleri

Saat 5:15'te akrep ile yelkovanın belirttiği dar açının ölçüsü nedir?


Çözüm 4

|30.saat-5,5.dakika|= Kollar arasındaki açı

(30.5)-(5,5.15)=150-82,5=67,5 olacaktır.

Örnek 5 - Hareket Problemleri

A kentinden B kentine doğru saatte 40km hız yapan bir araç harekete başlıyor. Bu araçtan 1 saat sonra aynı yerden aynı yönde başka bir araç hareket ediyor. İkinci araç B kentine 1 saat önce varıyor, AB yolu 480km olduğuna göre ikinci aracın saatteki hızı kaç km/s'tir?

Çözüm 5

İlk aracın bütün yolu alma süresini bulalım,
x=v.t
480=40.t
t=12 olarak bulunur.

İkinci araç 1 saat geç çıktı, 1 saat erken vardı. Toplamda 2 saat az yolculuk yapmış oldu.
12-2=10 saat.
480=v.10
v=48 olarak bulunur.

Örnek 6 - İşçi Problemleri

Serpil ve Zeynep bir işi birlikte 6 saatte bitiriyorlar. Serpil aynı işi Zeynep'in tek başına bitirebileceğinden 5 saat geç bitiriyor. Buna göre Zeynep bu işi tek başına kaç saatte bitirir?

Çözüm 6

Zeynep x saatte, Serpil x+5 saatte bitirsin.

6.[

1

x

+

1

x+5

]=1

6.(2x+5)

x²+5x

=1

12x+30=x²+5x
x²-7x-30=0
(x-10).(x+3)=0

x=10
x=-3

Zaman negatif olamayacağından, cevap 10 olacaktır.

Örnek 7 - Yaş Problemleri

Bir anne ile çocuğunun yaşları farkı 21'dir. Üç yıl önce yaşları toplamı 29 olduğuna göre annenin bugünkü yaşı kaçtır?

Çözüm 7

Anne x,
Çocuk y yaşında olsun.

x-y=21
(x-3)+(y-3)=29
x+y=35

x-y=21
x+y=35
+______ Taraf tarafa toplayalım,
2x=56
x=28 olarak bulunur.