Maksimum Alan - Maksimum Kenar Sorularında Apollon Çemberi Yöntemi

Bazen alan hesabını yapmak çok zahmetli olur (2.dereceden kök hesabı,türev filan) şimdi bunlara hiç dokunmadan maksimum alan-kenar soru tiplerine farklı bir bakış getireceğiz.

Bir örnekle başlayalım.

Kenar uzunlukları 2x br , 4x br ve 12 br olan bir üçgenin alanı en çok kaç br² olabilir?

Çözüm I.

Aslında burada heron formülünden yerine yazıp türev bilgisiyle soruyu çözebiliriz.
Ama sizi zahmete sokmadan Apollon Çemberi yardımıyla bu soruya farklı bir çözüm getireceğiz.
II.Çözümü izleyin.

Çözüm II.(Apollon Çemberi)
ABC üçgenini inşaat etmeye çalışacağız boyu 12 br olan kenarı [BC] seçelim ve hemen [BC]'yi çizelim.

Şimdi A'nın nerelerde olabileceğini araştıracağız.Verilenlere göre |AB|=4x br ve |AC|=2x br yani A'nın B'ye olan uzaklığı C'ye olan uzaklığının 2 katı olacakmış.

Şimdi bu noktaları doğru üzerinde işaretleyelim bakalım.
https://www.matematiktutkusu.com/for.../max-alan1.png
Şimdi birkaç tane de göz kararı noktalar işaretleyelim.

https://www.matematiktutkusu.com/for.../max-alan2.png
Bu noktaların çembersel olduğunu anlamış olmanız lazım hatta [A₁A₂]nin de çap olduğunu da bir başka konuda kanıtlayacağım inşallah.:)

Şimdi çemberimizi hayali olarak oluşturalım bakalım.

https://www.matematiktutkusu.com/for.../max-alan3.png
ABC üçgeninin tabanı sabit olduğundan,alanı maksimum yapmak için yüksekliği olabilecek en büyük tutmalıyız.Peki hangi A noktası BC'ye en uzaktır? Çemberin en üst noktası olan A5 değil mi?
Onu da çizelim.
https://www.matematiktutkusu.com/for.../max-alan4.png

Şimdi hesaplayabiliriz taban 8+4 = 12 br , yükseklik 8 birim olduğundan alan
12.8/2 = 48 br² bulunur.

3.Yol (Türevle nasil yapiliyo bilmiyorum benziyo olabilir.)Parabolün tepe noktasindan veya tam kareye tamamlayip ikinci dereceden bir fonksiyonun maksimum değerini bulacağiz.
ALAN=a olsun a²=(3x+6)(x+6)(6-x)(3x-6) ayrica üçgen eşitsizliğinde 2<x<6 bu bir kösede kalsin
a²=9(x+6)(6-x)(x+2)(x-2)=(36-x²)(x²-4) x²-4=p olsun o halde 36-x²=-p+32 olur
burdan a²=p(-p+32)=-p²+32p burdanda p=16 için (tam kareye tamamlarsak veya parabolün tepe noktasi) maksimum değeri alir.Ayrica x²-4=p=16 için x=2√5 olur. 2√5<6 olduguna göre x=2√5 alabiliriz. a²=9(16)(16) a=3.4.4=48.

Adam
hiç
üşen
memiş
anlat
mış
ya
hu

cengizhanhck'den alıntı:

3.Yol (Türevle nasil yapiliyo bilmiyorum benziyo olabilir.)Parabolün tepe noktasindan veya tam kareye tamamlayip ikinci dereceden bir fonksiyonun maksimum değerini bulacağiz.
ALAN=a olsun a²=(3x+6)(x+6)(6-x)(3x-6) ayrica üçgen eşitsizliğinde 2<x<6 bu bir kösede kalsin
a²=9(x+6)(6-x)(x+2)(x-2)=(36-x²)(x²-4) x²-4=p olsun o halde 36-x²=-p+32 olur
burdan a²=p(-p+32)=-p²+32p burdanda p=16 için (tam kareye tamamlarsak veya parabolün tepe noktasi) maksimum değeri alir.Ayrica x²-4=p=16 için x=2√5 olur. 2√5<6 olduguna göre x=2√5 alabiliriz. a²=9(16)(16) a=3.4.4=48.

Aslında türevle de bu şekilde geliyor.
Heron formülünden yerine yazarsanız çıkıyor.

sinavkizi'den alıntı:

Adam
hiç
üşen
memiş
anlat
mış
ya
hu

söz konusu MT ise gerisi teferruattır :)

İlginç forumda Apollon çemberine hiç değinilmemiş.:confused::confused:

svsmumcu26'den alıntı:

İlginç forumda Apollon çemberine hiç değinilmemiş.:confused::confused:

bu çemberin denklemi, nasıl oluştuğu vs gibi bilgileri de ilk mesajda belirtip altına "bakın böyle bir soruyu da hiç türeve girmeden çözebiliriz" diyerek yukardaki örneği verirsek daha iyi olur diye düşünüyorum.

gereksizyorumcu'den alıntı:

bu çemberin denklemi, nasıl oluştuğu vs gibi bilgileri de ilk mesajda belirtip altına "bakın böyle bir soruyu da hiç türeve girmeden çözebiliriz" diyerek yukardaki örneği verirsek daha iyi olur diye düşünüyorum.

Tamam hocam,alta onları da ekliyeyim dün (resim çizmekte sıkıntılı olduğum için) biraz uğraşmıştım onu da ekliyeyim alta.