Tümevarım Yöntemiyle İspatlama

Her n∈N⁺ için.


İspat 1:

P(n): 1+3+5+...+(2n-1)=n² olduğunu tümevarım yöntemiyle ispatlayınız.


i)

n=1 için

p(1)=1²=1

ii)

n=k için

p(k)=1+3+5+..+(2k-1)=k²

n=k+1 için

p(k+1)=1+3+5+..+(2(k+1)-1)

=1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)²

Koyu ile yazılan ifade yerine p(k) yazarsak,

=p(k)+(2k+1)=(k+1)²

=k²+2k+1=k²+2k+1 olduğundan her n ∈ N⁺ için p(n) önermesi doğrudur.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

İspat 2:

p(n)=2+4+6+...+2n=n.(n+1) olduğunu tümevarım yöntemiyle ispatlayınız.


i)

n=1 için

p(1)=1.(1+1)=2


ii)

n=k için

p(k)=2+4+6+...+2k=k.(k+1)

n=k+1 için

p(k+1)=2+4+6+..+(2(k+1))

=2+4+6+...+2k+(2k+2)=(k+1).(k+2)

koyu ile yazılan ifade yerine p(k) yazarksak,

=p(k)+(2k+2)=(k+1).(k+2)

=k.(k+1)+(2k+2)=(k+1).(k+2)

=k²+k+2k+2=k²+2k+k+2

p(k+1) doğru olduğundan her n∈N⁺ için P(n) önermesi doğrudur.