Merkezi eğilim ölçüleri: Ortanca (medyan), Tepe değeri(mod) ve Aritmetik ortalamadır.
Merkezi yayılım ölçüleri: Standart Sapma, Açıklık (aralık), çeyrekler açıklığıdır.
Ortanca (medyan): Küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralanmış bir dağılımı tam ortadan ikiye bölen değerdir. Ölçümlerin yarısı bu değerin üstünde, diğer yarısı bu değerin altında yer alır.
Tepe Değeri (mod): Veri grubu küçükten büyüğe doğru sıralandığında en çok tekrar eden sayı tepedeğerdir (mod). Tepedeğer birden fazla olabilir.
Aritmetik Ortalama: Veri grubundaki tüm sayılar toplanıp veri sayısına bölünürse artimetik ortalama bulunur.
Açıklık(Aralık): En büyük değer ile en küçük değerin arasındaki fark açıklıktır.
Çeyrekler Açıklığı: Üst çeyrekle alt çeyrek arasındaki fark çeyrekler açıklığıdır.
Standart Sapma :
Standart sapma bulunurken.
*Önce verilen dizinin aritmetik ortalaması bulunur.
*Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.
*Bulunan farkların her birinin karesi alınır. Karelerden elde edilen sayılar toplanır.
*Bulunan toplam veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve elde edilen bölümün karekökü alınırsa standart sapma bulunmuş olur.
Z ve T puanlarının hesaplanması:
z puanı
formülü ile bulunur.
z puanından T puanına geçiş T=10z+50 formulü ile bulunur.
Konuyla ilgili ayrıntılı döküman için buraya bakınız.
Merkezi yayılım ölçüleri: Standart Sapma, Açıklık (aralık), çeyrekler açıklığıdır.
Ortanca (medyan): Küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralanmış bir dağılımı tam ortadan ikiye bölen değerdir. Ölçümlerin yarısı bu değerin üstünde, diğer yarısı bu değerin altında yer alır.
Tepe Değeri (mod): Veri grubu küçükten büyüğe doğru sıralandığında en çok tekrar eden sayı tepedeğerdir (mod). Tepedeğer birden fazla olabilir.
Aritmetik Ortalama: Veri grubundaki tüm sayılar toplanıp veri sayısına bölünürse artimetik ortalama bulunur.
Açıklık(Aralık): En büyük değer ile en küçük değerin arasındaki fark açıklıktır.
Çeyrekler Açıklığı: Üst çeyrekle alt çeyrek arasındaki fark çeyrekler açıklığıdır.
Standart Sapma :
Standart sapma bulunurken.
*Önce verilen dizinin aritmetik ortalaması bulunur.
*Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.
*Bulunan farkların her birinin karesi alınır. Karelerden elde edilen sayılar toplanır.
*Bulunan toplam veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve elde edilen bölümün karekökü alınırsa standart sapma bulunmuş olur.
Z ve T puanlarının hesaplanması:
z puanı
z=
Dönüştürülecek puan−Aritmetik Ortalama
Standart Sapma
formülü ile bulunur.
z puanından T puanına geçiş T=10z+50 formulü ile bulunur.
Konuyla ilgili ayrıntılı döküman için buraya bakınız.
ÖRNEK 1:
Bir sınıftaki öğrencilerin ağırlıkları aşağıda verilmiştir.
Bu tabloyu kullanarak erkekler ve kızlar için en küçük değer,en büyük değer, en büyük değer alt çeyrek, üst çeyrek ve ortanca değerlerini bularak kızlar için kutu grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM 1:
Verilerin genişliğini bulabilmek için kullanılacak en uygun grafik kutu grafiğidir.
Ortanca: Veriler küçükten büyüğe sıralandığında veri sayısı tek ise tam ortada kalan terimdir.
*Eğer veri sayısı çiftse tam ortaya gelen iki sayının toplamının yarısı ortanca (medyan) dır.
Alt Çeyrek: Ortancanın solunda kalan verilerin tam ortasındaki terimdir.
Üst Çeyrek: Ortancanın sağındaki verilerin tam ortasındaki terimdir.
En küçük değer: Verilerin en küçüğüdür.
En büyük değer: Verilerin en büyüğüdür.
Şimdi gelelim çözüme,
Erkek öğrencilerin ağırlıkları sıra ile yazılır.
55,55,60,60,60,65,65,70,75,75,80
Erkekler için en küçük değer: 55
en büyük değer: 80
ortanca: 65
alt çeyrek: 60
üst çeyrek: 75
Kız öğrencilerin ağırlıkları sırası ile yazılır.
40,45,45,50,50,55,55,55,60,60,65
Kızlar için en küçük değer: 40
en büyük değer: 65
ortanca: 55
alt çeyrek: 45
üst çeyrek: 60
Bilgiler kutu grafiğe aşağıdaki gibi aktarılır.
Buna göre grafiği çizelim.
Bir sınıftaki öğrencilerin ağırlıkları aşağıda verilmiştir.
Bu tabloyu kullanarak erkekler ve kızlar için en küçük değer,en büyük değer, en büyük değer alt çeyrek, üst çeyrek ve ortanca değerlerini bularak kızlar için kutu grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM 1:
Verilerin genişliğini bulabilmek için kullanılacak en uygun grafik kutu grafiğidir.
Ortanca: Veriler küçükten büyüğe sıralandığında veri sayısı tek ise tam ortada kalan terimdir.
*Eğer veri sayısı çiftse tam ortaya gelen iki sayının toplamının yarısı ortanca (medyan) dır.
Alt Çeyrek: Ortancanın solunda kalan verilerin tam ortasındaki terimdir.
Üst Çeyrek: Ortancanın sağındaki verilerin tam ortasındaki terimdir.
En küçük değer: Verilerin en küçüğüdür.
En büyük değer: Verilerin en büyüğüdür.
Şimdi gelelim çözüme,
Erkek öğrencilerin ağırlıkları sıra ile yazılır.
55,55,60,60,60,65,65,70,75,75,80
Erkekler için en küçük değer: 55
en büyük değer: 80
ortanca: 65
alt çeyrek: 60
üst çeyrek: 75
Kız öğrencilerin ağırlıkları sırası ile yazılır.
40,45,45,50,50,55,55,55,60,60,65
Kızlar için en küçük değer: 40
en büyük değer: 65
ortanca: 55
alt çeyrek: 45
üst çeyrek: 60
Bilgiler kutu grafiğe aşağıdaki gibi aktarılır.
Buna göre grafiği çizelim.
ÖRNEK 2:
Bir kişinin 10 günde ödediği yemek fiyatları,
7,3,5,8,7,4,9,5,4,8 TL dir.
Buna göre, bu verilenlerin standart sapmalarını bulalım.
ÇÖZÜM 2:
*Verilerin aritmetik ortalamasını bulalım.
(7+3+5+8+7+4+9+5+4+8)/10=60/10=6 dır.
*Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.
7-6=1,3-6=-3,5-6=-1,8-6=2,7-6=1,4-6=-2,9-6=3,5-6=-2,4-6=-2,8-6=2
*Bulunan farkların hepsinin karesi alınır ve kareden elde edilen sayılar toplanır.
(1)²+(-3)²+(-1)²+(2)²+(1)²+(-2)²+(3)²+(-1)²+(-2)²+2²=38
*Bulunan toplam veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve elde edilen bölümün karekökü alınır.
Standart sapma=√4,222...≅2,0548 bulunur.
Bir kişinin 10 günde ödediği yemek fiyatları,
7,3,5,8,7,4,9,5,4,8 TL dir.
Buna göre, bu verilenlerin standart sapmalarını bulalım.
ÇÖZÜM 2:
*Verilerin aritmetik ortalamasını bulalım.
(7+3+5+8+7+4+9+5+4+8)/10=60/10=6 dır.
*Her bir veri ile aritmetik ortalama arasındaki fark bulunur.
7-6=1,3-6=-3,5-6=-1,8-6=2,7-6=1,4-6=-2,9-6=3,5-6=-2,4-6=-2,8-6=2
*Bulunan farkların hepsinin karesi alınır ve kareden elde edilen sayılar toplanır.
(1)²+(-3)²+(-1)²+(2)²+(1)²+(-2)²+(3)²+(-1)²+(-2)²+2²=38
*Bulunan toplam veri sayısının 1 eksiğine bölünür ve elde edilen bölümün karekökü alınır.
38
10-1
=4,2222
Standart sapma=√4,222...≅2,0548 bulunur.
ÖRNEK 3:
Ali'nin Matematik ve Türkçe dersine ait genel durumu verilmiştir.
Matematik
Yazılı puanı: 64
Sınıfın aritmetik ortalaması: 59
Sınıfın Standart sapması: 16
Türkçe
Yazılı puanı : 81
Sınıfın aritmetik ortalaması: 76
Sınıfın standart sapması: 20
ÇÖZÜM 3:
Öğrencinin hangisinden daha başarılı olduğunu bulmak için z ve T puanları bulunur.
olduğundan,
Matematik,
T puanı, T=10z+50 ise T=53,125'tir.
Türkçe,
T=10z+50=52,5
T puanı daha büyük olan derste daha başarıldır. Yani Ali matematik dersinde daha başarılıdır.
Ali'nin Matematik ve Türkçe dersine ait genel durumu verilmiştir.
Matematik
Yazılı puanı: 64
Sınıfın aritmetik ortalaması: 59
Sınıfın Standart sapması: 16
Türkçe
Yazılı puanı : 81
Sınıfın aritmetik ortalaması: 76
Sınıfın standart sapması: 20
ÇÖZÜM 3:
Öğrencinin hangisinden daha başarılı olduğunu bulmak için z ve T puanları bulunur.
z=
Dönüştürülecek puan−Aritmetik Ortalama
Standart Sapma
olduğundan,
Matematik,
z puanı:
64−59
16
=0,3125
T puanı, T=10z+50 ise T=53,125'tir.
Türkçe,
z puanı=
81−76
20
T=10z+50=52,5
T puanı daha büyük olan derste daha başarıldır. Yani Ali matematik dersinde daha başarılıdır.
Diğer çözümlü sorular alttadır.