r≠1 için
a+a.r+a.r²+a.r³+...+a.rⁿ
toplamı
=a.(1−rⁿ⁺¹)/(1−r) dir.


n→ ∞
r ≥1 için bu toplam ıraksak
r<1 için yakınsaktır ve değeri a/(1−r) olur

r≠1 için
S=a+a.r+a.r²+...+a.rⁿ olsun
eşitliğin her iki tarafını (1-r) ile çarpalım

(1-r).S=(a+a.r+a.r²+...+a.rⁿ).(1-r)
(1-r).S=a+a.r+a.r²+...+a.rⁿ-a.r-a.r²-a.r³...-a.rⁿ⁺¹=a-a.rⁿ⁺¹
(1-r).S=a-a.rⁿ⁺¹=a.(1-rⁿ⁺¹)
r≠1 olduğundan (1-r) yi diğer tarafa atabiliriz
→ S=a.(1-rⁿ⁺¹)/(1-r) olur.